Transfert de chaleur d'un fluide de second degré généralisé avec MHD, rayonnement et chauffage exponentiel à l'aide de Caputo

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 5220 (2023) Citer cet article

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Le but de ce travail est d'appliquer la dérivée fractionnaire de Caputo–Fabrizio à la transformation thermique d'un fluide de second degré incompressible instationnaire. Les effets de la magnétohydrodynamique et du rayonnement sont analysés. Dans l'équation directrice du transfert de chaleur, la chaleur radiative non linéaire est examinée. Les phénomènes de chauffage exponentiel sont considérés à la frontière. Tout d'abord, les équations gouvernantes dimensionnelles avec les conditions initiales et aux limites sont converties en une forme non dimensionnelle. Des solutions analytiques exactes sont obtenues pour les équations gouvernantes fractionnaires sans dimension qui consistent en des équations de quantité de mouvement et d'énergie en utilisant la méthode de transformée de Laplace. Des cas particuliers sont étudiés des solutions obtenues et on remarque que certains résultats bien connus sont obtenus publiés dans la littérature à partir de ces cas particuliers. À la fin, à titre d'illustration graphique, les influences de différents paramètres physiques tels que le rayonnement, Prandtl, le paramètre fractionnaire, les nombres de Grashof et la magnétohydrodynamique sont vérifiées graphiquement.

La théorie des dérivées d'ordre fractionnaire a une grande importance dans la vie quotidienne. En tant qu'ordre entier, la théorie de l'ordre non entier est également la plus ancienne. C'est la branche des mathématiques, il y a quelques années, ce concept était limité uniquement aux mathématiques, mais de nos jours, les principes du calcul fractionnaire ont souvent été appliqués à différents domaines tels que la dynamique des fluides, la bio-ingénierie, l'électromagnétisme, la mécanique des fluides, la finance. , électrochimie, viscoélasticité, en biologie le modèle des neurones, mathématiques appliquées1. En dynamique des fluides, le concept de dérivée non entière a été utilisé pour étudier les processus viscoélastiques comme les polymères à l'état vitreux et la transition vitreuse2. Il y a quelques années, les dérivées d'ordre fractionnaire ont été considérées comme un outil efficace à partir duquel une généralisation appropriée des concepts physiques peut être obtenue. Il existe tellement d'autres définitions de dérivées d'ordre non entier, mais les dérivées fractionnaires de Caputo et de Riemann-Liouvilli sont utilisées dans différents phénomènes du monde réel3,4. Chacun sait que de telles méthodes présentent des difficultés d'application. Tels que la dérivée d'une constante est non nulle dans la dérivée d'ordre fractionnaire de Riemann-Liouvilli et qu'elle a également un noyau singulier. Ces difficultés sont levées par Caputo et ont donné le concept dans lequel la constante a une dérivée nulle mais a toujours un noyau singulier. Après tout cela, Fabrizio & Caputo ont présenté l'idée d'une dérivée d'ordre non entier dans laquelle la constante a une dérivée nulle et sans noyau singulier. Par la technique de Laplace, la dérivée fractionnaire de Caputo-Febrizio est facile à trouver la solution exacte. De nombreux modèles de fluides existants ont été examinés et une dérivée d'ordre fractionnaire a été développée. Certains des modèles de fluides bien connus sont présentés ici, comme les modèles de fluides Oldroyd-B, Maxwell, grade second, Burger et Jeffery, etc. Les modèles Burger, Maxwell et Oldroyd sont des modèles de type taux, tandis que les modèles grade second sont de type différentiel5. Selon Tan et al.6 ont étudié l'écoulement instationnaire généralisé d'un fluide non newtonien de niveau 2 entre deux plaques parallèles avec le modèle des dérivées non entières. Récemment, Friedrich7, a examiné le modèle fluide du fluide de Maxwell ordinaire avec une dérivée d'ordre fractionnaire généralisée de la fonction de relaxation et de retard. Dans les études précédentes, Tan et al.8 ont analysé une courte note sur le fluide de Maxwell non entier avec un écoulement de fluide viscoélastique instable entre deux plaques parallèles. Le modèle de fluide de Maxwell viscoélastique non entier avec un écoulement de fluide périodique directionnel étudié dans9. Le modèle de fluide Maxwell fractionnaire de viscoélastique dans le tuyau a été examiné par Yin et al.10. Le fluide de type Brikman par dérivée fractionnaire de Caputo est étudié in11. Les effets des paramètres dans le fluide de second degré généralisé sont discutés dans12. La dérivée d'ordre non entier de Maxwell pour le premier problème de Stokes est étudiée dans13. Khan et al.14 ont étudié la loi de Darcy modifiée généralisée avec le fluide d'Oldroyd-B pour obtenir des solutions exactes pour la magnétohydrodynamique. Khan et al.15 ont étudié le modèle fluide de Burgers viscoélastique non entier sur des écoulements accélérés. En utilisant Caputo Fabrizio dérivé non entier étudié fluide caloporteur de deuxième année sur et surface perpendiculaire oscillante examinée in16. Transfert de masse thermique étudié dans le fluide de troisième degré avec réaction chimique sur une feuille étirable fixée dans un milieu poreux. Abbas et al.17 ont étudié la diffusion thermique des fluides de troisième degré avec la relation de Darcy-Forchheimer sur une feuille étirable. L'analyse du transfert de chaleur dans la dérivée d'Atangana–Baleanu vers les flux de chauffage et de convection newtoniens de Caputo–Fabrizio avec des fluides de deuxième qualité est étudiée dans18. Récemment, en utilisant un dérivé de Caputo Fabrizio non entier et en examinant le chauffage exponentiel et le flux magnétohydrodynamique du fluide de deuxième qualité in19. Saqib et al.20 ont étudié l'écoulement des fluides de Jeffery en utilisant la dérivée de Caputo-Fabrizio et ont obtenu des solutions exactes. Raptis et al.21 ont étudié l'influence MHD du rayonnement thermique sur une feuille étirable. L'influence du rayonnement thermique sur MHD est étudiée in22. Le but de cet article est de discuter de l'analyse d'un fluide non newtonien généralisé de deuxième année sur la magnétohydrodynamique et le rayonnement thermique en utilisant l'approche dérivée fractionnaire de Caputo-Fabrizio. D'un point de vue thermique, phénomènes d'échauffement exponentiel à adopter.

Considérons le fluide non newtonien incompressible de second degré. Initialement pour le temps t = 0 la température T∞ et la vitesse sont nulles. Au début du temps pour t = 0+, la vitesse du fluide devient \(fH(t)e^{i\omega t}\), ici H(t) est la fonction de pas unitaire et la température atteint \(T_{\infty } + T_{\omega } (1 - ae^{ - bt} )\). Selon toutes ces hypothèses, la température et la vitesse sont toutes deux fonction de la variable d'espace "y" et du temps "t" uniquement. Maintenant, par l'approximation habituelle de Boussinesq16, l'écoulement instationnaire est régi par l'ensemble suivant d'équations aux dérivées partielles. Le diagramme schématique utilisé dans le problème d'écoulement de fluide est représenté géométriquement par la figure 1.

Géométrie du problème.

Pour l'approximation de rayonnement de Rosseland est utilisé23, nous avons

En négligeant les termes supérieurs à l'aide des séries de Taylor on exprime T4 comme une fonction linéaire,

Condition initiale et aux limites :

Variable sans dimension :

Après les équations sans dimension. (1)–(5), on obtient

Maintenant, en utilisant la dérivée temporelle Caputo – Fabrizio dans Eqs. (7) et (8) on obtient le système ci-dessous :

Pour obtenir les solutions des équations gouvernantes, nous utilisons la technique de la transformée de Laplace. Nous trouvons d'abord la solution des équations d'énergie car l'équation de quantité de mouvement en dépend. Prenons maintenant la transformée de Laplace de l'équation. (12) avec conditions initiales et aux limites Eqs. (9) et (10), on a les équations suivantes :

Résoudre l'éq. (15) à l'aide de l'Eq. (16) on a une solution transformée qui est donnée

Maintenant, pour trouver la solution analytique exacte de l'équation d'énergie, nous prenons la transformée de Laplace inverse de l'équation. (17) en utilisant les Annexes A1 et A2, on obtient la solution qui est présentée dans l'Eq. (18)

Pour trouver l'équation de vitesse, nous prenons la transformée de Laplace de l'équation. (12) avec conditions aux limites initiales Eqs. (9) et (10), maintenant l'équation transformée avec les conditions aux limites initiales transformées est donnée dans les équations. (19) et (20):

Résoudre l'éq. (19) à l'aide de l'Eq. (20) on obtient la transformée qui est présentée dans l'Eq. (21)

où; \(a_{1} = \frac{M + \gamma }{{1 + \alpha_{2} \gamma }},a_{2} = \frac{M\alpha \gamma }{{1 + \alpha_{ 2} \gamma }},a_{3} = \frac{\alpha \gamma }{{1 + \alpha_{2} \gamma }},h_{1} = - \frac{Gr\xi }{{\ Pr \gamma + \Pr \gamma^{2} \alpha_{2} - M\xi - \gamma \xi }},\)

Pour obtenir la solution analytique exacte de l'équation de quantité de mouvement, nous prenons la transformée de Laplace inverse de l'équation. (21) on obtient la solution qui est donnée dans l'Eq. (22) en utilisant les annexes A1, A2 et A4,

(i) En l'absence d'effet de rayonnement \(N = 0\) et en négligeant l'échauffement exponentiel de la plaque.

Dans l'éq. (8), quand on pose \(N = 0\), alors on obtient la solution sous la forme donnée sous :

où \(\varphi \left( {y, \, t, \, p_{r} \gamma , \, \alpha \gamma } \right) \) est défini par l'annexe (A1).

Le résultat est uniforme à celui obtenu dans la littérature publiée par Shah et Khan16.

En négligeant également l'effet de rayonnement dans l'Eq. (7) nous obtenons la solution pour l'équation de vitesse qui est donnée comme suit :

où \(a_{1} = \frac{\gamma }{{1 + \alpha_{2} \gamma }}, \, a_{2} = \, \alpha a_{1}\) et \(\varphi \left( {y, \tau ,a_{1} ,a_{2} } \right)\) est défini par l'annexe (A1).

Le résultat est uniforme à celui obtenu dans la littérature publiée par Shah et Khan16.

En utilisant le logiciel Mathcad, différents paramètres physiques sont esquissés pour analyser les effets de la vitesse et de la température du fluide. Le paramètre alpha α sur la Fig. 2, le nombre de Prandtl Pr sur la Fig. 3 et le rayonnement thermique sur la Fig. 4 sont dessinés pour le champ de température, tandis que pour le champ de vitesse alpha α sur la Fig. 5, le nombre de Prandtl Pr sur la Fig. 6, Magneto hydro la MHD dynamique sur la Fig. 7 et le nombre de Grashof Gr sur la Fig. 8 sont présentés.

Graphique de température pour différentes valeurs d'alpha α.

Graphique de température pour différentes valeurs du nombre de Prandtl Pr.

Graphique de température pour différentes valeurs de rayonnement N.

Graphique de vitesse pour différentes valeurs d'alpha α en cas d'oscillation cosinus et sinus.

Graphique de la vitesse pour différentes valeurs du nombre de Prandtl Pr en cas d'oscillation cosinus et sinus.

Graphique de vitesse pour différentes valeurs de M en cas d'oscillation cosinus et sinus.

Graphique de la vitesse pour différentes valeurs du nombre de Grashof Gr en cas d'oscillation cosinus et sinus.

La figure 2 est un croquis pour vérifier les effets de la température et alpha α dans lequel nous avons vu que cette température augmente en augmentant la valeur de α, l'épaisseur thermique de la couche limite augmente avec le paramètre alpha α et le temps t. La figure 3 est un croquis pour vérifier l'influence de la température et de Prandtl Pr dans lequel nous avons observé que la température diminue en augmentant la valeur de Prandtl Pr, l'épaisseur de la couche limite thermique diminue avec le paramètre Prandtl nombre Pr et le temps t et la diffusivité de la température est grand. La figure 4 est un croquis pour vérifier les effets de la température et du rayonnement thermique N, il a été étudié, en augmentant la petite valeur du rayonnement thermique N, la température augmente également. Le graphique représente la température en fonction de y. La figure 5 est dessinée pour vérifier l'influence d'alpha α, les deux cas d'oscillation sinus et cosinus sont discutés dans lesquels nous étudions cette vitesse de fluide diminue en augmentant la valeur d'alpha α. Ce graphique montre à la fois les effets de l'oscillation cosinus et sinus pour le fluide. Les effets de l'oscillation sinusoïdale sont supérieurs à l'oscillation cosinusoïdale en augmentant le temps t. La figure 6 est dessinée pour examiner les effets de Prandtl Pr sur la vitesse du fluide, individuellement les cas d'oscillation sinus et cosinus ont été considérés dans lesquels nous avons souligné cela en augmentant les petites valeurs du nombre Prandtl Pr, la vitesse diminue. La figure 7 est dessinée pour étudier le comportement de M magnétohydrodynamique, à la fois les cas d'oscillation sinusoïdale et cosinusoïdale sont considérés dans lesquels nous avons remarqué par de petites valeurs de MHD augmentant la vitesse a des diminutions. Les effets de l'oscillation sinusoïdale sont supérieurs à l'oscillation cosinusoïdale en augmentant le temps t. La figure 8 est dessinée pour observer l'influence du nombre de Grashof, les deux cas d'oscillation sinus et cosinus sont considérés dans lesquels nous avons remarqué que la vitesse du fluide augmente en augmentant la valeur de Gr. Les effets de l'oscillation sinusoïdale sont supérieurs à l'oscillation cosinusoïdale en augmentant le temps t. Dans la figure 9, nous avons comparé les solutions obtenues comme cas limites avec celles obtenues par Shah et khan16.

Profil de vitesse et de température avec comparaison de la littérature publiée par Shah & Khan.

Les résultats numériques du frottement cutané et du nombre de Nusselt au niveau de la plaque \(\left( {y = 0} \right)\) sont présentés dans les tableaux 1 et 2 pour différentes valeurs de \(\left( t \right)\), \(\left( \alpha \right)\), \(\left( N \right)\), \(\left( M \right)\),\(\left( {\Pr } \right)\ ) et \(\left( {Gr} \right)\). On observe à partir du tableau 1 que le frottement cutané \(\left( \tau \right)\) augmente avec une augmentation de \(\left( t \right)\), \(\left( N \right)\) et \(\left( {Gr} \right)\) alors que le résultat est inversé avec augmentation de \(\left( \alpha \right)\), \(\left( M \right)\) et \(\left ( {\Pr } \right)\) dans le tableau 1. Résultats numériques du nombre de Nusselt \(\left( {Nu} \right)\) sur la plaque \(\left( {y = 0} \right)\) sont exprimées dans les tableaux 2 pour différentes valeurs de \(\left( t \right)\), \(\left( \alpha \right)\), \(\left( N \right)\) et \(\left ( {\Pr } \droite)\). Le tableau 2 montre que le nombre de Nusselt Nu qui détermine le taux de transfert de chaleur au niveau de la plaque augmente à mesure que \(\left( \alpha \right)\) et \(\left( {\Pr } \right)\) progressent tandis que le le résultat est inversé avec l'augmentation de \(\left( t \right)\) et \(\left( N \right)\).

L'écoulement instationnaire de convection libre d'un fluide généralisé de second degré sur une plaque verticale infinie est étudié. L'écoulement est analysé sous l'effet de la magnéto hydrodynamique et du rayonnement ainsi que du transfert de chaleur. De plus Sur les aspects thermiques de la plaque verticale infinie, nous prenons en compte les phénomènes d'échauffement exponentiel. La dérivée de Caputo–Fabrizio a été appliquée à l'ensemble des équations gouvernantes sans dimension. La solution exacte du problème est obtenue par la technique du transorme de Laplace. Les profils (température et vitesse) sont analysés graphiquement pour les oscillations sinus et cosinus de la plaque pour des paramètres physiques distincts.

On observe que.

En augmentant le paramètre fractionnaire α et le rayonnement N, la température augmente également.

Avec l'augmentation du nombre de Prandtl, la température peut être diminuée.

La vitesse diminue en augmentant le paramètre α et, par conséquent, la vitesse et la température ont un comportement opposé pour le paramètre α.

Avec une grande valeur du nombre de Prandtl, la vitesse du fluide a tendance à diminuer.

Le mouvement du fluide diminue pour une valeur croissante de MHD.

La vitesse augmente d'une grande valeur de Gr.

Les ensembles de données analysés au cours de l'étude actuelle sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

Chaleur spécifique

Gravité (accélération)

Paramètre de rayonnement

Numéro Grashof

Température du mur

Viscosité (cinématique)

Densité du fluide

Conductivité électrique

Température du fluide

Numéro de Prandtl

Coefficient d'absorption moyenne

Constant (Stefan–Boltzmann)

Paramètre de deuxième classe

Champ magnétique uniforme

Coefficient volumétrique de dilatation thermique

Temps

Paramètre de transformation de Laplace

Conductivité thermique

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Sami Ul Haq et Saeed Ullah Jan

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Ilyas Khan

Centre de recherche, Future University in Egypt, Nouveau Caire, 11835, Égypte

Abdallah Mohamed

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SS a conçu l'étude; AN a mené les expériences avec l'assistance technique de SH, SUJ et IK a analysé les données et rédigé l'article. AM a calculé les résultats des cas particuliers avec discussion et manuscrit révisé.

Correspondance à Ilyas Khan.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Sehra, S., Noor, A., Haq, SU et al. Transfert de chaleur d'un fluide de second degré généralisé avec MHD, rayonnement et chauffage exponentiel à l'aide de l'approche des dérivées fractionnaires de Caputo – Fabrizio. Sci Rep 13, 5220 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-022-22665-4

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Reçu : 15 mai 2022

Accepté : 18 octobre 2022

Publié: 30 mars 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-022-22665-4

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