Thermo volumétrique - Échangeur marin Anhui Co., Ltd

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 6324 (2023) Citer cet article

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Les caractéristiques thermophysiques de l'écoulement de fluide de Casson causé par une surface extensible perméable non linéaire sont évaluées dans la présente étude. Le modèle informatique du fluide de Casson est utilisé pour définir la viscoélasticité, qui est quantifiée rhéologiquement dans l'équation de quantité de mouvement. Les réactions chimiques exothermiques, l'absorption/génération de chaleur, le champ magnétique et l'expansion thermique/massique volumétrique non linéaire sur la surface étirée sont également pris en compte. Les équations du modèle proposé sont atténuées par la transformation de similarité avec le système sans dimension des ODE. L'ensemble d'équations différentielles obtenu est calculé numériquement par une approche de continuation paramétrique. Les résultats sont affichés et discutés via des figures et des tableaux. Les résultats du problème proposé sont comparés à la littérature existante et au package bvp4c à des fins de validité et de précision. Il a été perçu que le taux de transition d'énergie et de masse du fluide de Casson augmentait avec la tendance florissante du paramètre de source de chaleur et de la réaction chimique respectivement. La vitesse du fluide de Casson peut être élevée par l'effet croissant de la chaleur, du nombre de masse de Grashof et de la convection thermique non linéaire.

Au cours des dernières années, l'importance des fluides non newtoniens a augmenté en raison de son application importante dans le domaine de l'ingénierie, de l'aérodynamique et de la paperasserie, de la fabrication, du revêtement, du traitement des polymères, etc. La boue, le sang, la peinture, les solutions de polymères sont quelques-uns des matériaux qui présentent cette propriété. En raison de la complexité des fluides non newtoniens dans la nature physique, aucun modèle individuel ne peut représenter avec précision toutes ses caractéristiques. Les fluides non newtoniens ont des propriétés élastiques de type solide et le fluide de Casson est l'un des exemples de tels fluides. Gbadeyan et al.1 ont modélisé le fluide de Casson avec l'effet d'une conductivité thermique et d'une viscosité variables qui provoquent un effet de fluidification par cisaillement dans le fluide. Akbar & Khan2 ont démontré que l'effet de concentration et thermique est dû à la fois au gradient de pression et de température dans un milieu poreux. Xu et al.3 ont utilisé l'approche de continuation paramétrique pour analyser une loi de puissance stable incompressible NF contenant des microbes gyrotactiques circulant entre des plaques parallèles avec conversion d'énergie. Le tissu conjonctif qui recouvre la paroi extérieure du micro-vaisseau transfère la chaleur a été introduit par Shaw et al.4 à la surface suivi de la convection de chaleur pendant l'athérosclérose, l'hyperthermie et d'autres maladies, dans lesquelles la diffusion et le flux de chaleur sont critiques. Adeosun et al.5 ont exposé le flux constant d'un fluide réactif à travers un matériau poreux saturé et ont observé que le paramètre de convection non linéaire améliorait à la fois les profils de vitesse et de température.

L'écoulement de fluide magnétohydrodynamique (MHD) a de nombreuses applications dans des disciplines telles que la pharmacologie, les jets et les industries chimiques. En raison de ce large éventail d'applications, les chercheurs ont détourné leur attention vers les flux affectés par la MHD. L'analyse du fluide MHD Casson est explorée par Abo-Dahab et al.6 à travers un milieu poreux sur surface étendue avec aspiration/injection ainsi que l'impact des processus chimiques sur une surface non linéaire. Ils ont conclu que les résultats étaient cohérents avec les résultats réels. Les effets de l'écoulement du fluide de Casson sous l'influence de la MHD sur une surface étirée sont examinés par Hayat et al.7. Ils ont dérivé le modèle pertinent pour l'écoulement et ont trouvé une solution en série en utilisant l'approche homotopique. Sohail et al.8 ont contribué au comportement de la diffusion thermique et ont examiné comment un écoulement de fluide non newtonien peut se déplacer sur une surface d'étirement non linéaire. Ajayi et al.9 ont étudié le flux de non-Newtonien sur l'horizontale, la verticale, l'inclinaison et le cône. Dans lequel l'énergie est liée en raison de la température de la viscosité dynamique plastique. Mukhopadhyay et al.10 ont découvert l'écoulement de fluide non newtonien sur la couche limite et la transmission de chaleur énergétique sur une surface perméable étendue. Il a été remarqué que l'augmentation du paramètre de Casson provoque la diminution du champ de vitesse et l'augmentation du champ de température. Alsaedi et al.11 expliquent comment la chaleur est transférée à la surface en raison du fluide de Casson. Zaib et al.12 ont discuté du transfert de chaleur à travers une feuille perméable sous la dissipation visqueuse du fluide de Casson dans un écoulement bidimensionnel à la frontière. Aneja et al.13 obtiennent les problèmes comme fluide de Casson utilisé dans une cavité poreuse carrée. Mukhopadhyay14 a présenté le transfert de chaleur d'un fluide non newtonien sur une surface étirée non linéaire. Khan et al.15 ont observé la dissipation visqueuse en négligeant les effets et ont examiné le transfert de masse sur une feuille d'étirement à l'aide du fluide de Casson. Khan et al.16 étudient l'effet de la convection naturelle à travers une plaque mobile ayant un milieu poreux en raison des forces de flottabilité des gradients de température et de concentration.

Bukhari et al.17 ont observé le transfert de chaleur du fluide avec dans l'effet magnétique et radiatif qui ont établi des instruments biochimiques pour la pulsation. Pramanik18 sous l'aspiration d'un fluide non newtonien est observé sur la surface étirée. Ali et al.19 étudient l'écoulement de fluide de Casson non newtonien avec des pulsations et des bosses de constriction symétriques sur les parois supérieure et inférieure. Pendant le cycle de pulsation, on voit également que l'augmentation de la valeur du paramètre de porosité réduit la contrainte de cisaillement de la paroi. Ali et al.20 analysent le transfert de chaleur en écoulement pulsé dans un canal avec plusieurs constrictions symétriques sur les parois. La force de Lorentz et le rayonnement thermique ont un impact sur l'écoulement. L'approche aux différences finies est utilisée pour résoudre les équations gouvernantes instables, qui ont été simplifiées pour les fluides peu conducteurs. Saqlain et al.21 ont décrit les caractéristiques d'un écoulement de nanofluide à convection libre non linéaire de fluide de Casson rayonné le long de sources ou de puits de chaleur non uniformes. L'effet thermophorétique et les lois de Fourier et de Fick généralisées pour étudier le mouvement de la chaleur et de la masse.

Mustafa et al.22 discutent de la chaleur et de l'écoulement instable du fluide de Casson sur une plaque plane en mouvement dans un flux parallèle, en utilisant la technique d'homotopie pour trouver la solution des équations aux dérivées partielles non linéaires dans l'ensemble du domaine spatial. Samrat et al.23 ont examiné la limitation du moment brownien et de la thermophorèse du flux de convection libre magnétohydrodynamique le long de la section supérieure du paraboloïde de révolution et en utilisant des transformations appropriées, les équations gouvernantes qui conduisent à ces restrictions aux limites du modèle sont compressées en ODE.

La réaction chimique joue un rôle important dans l'ingénierie, les industries et les sciences biologiques. Il existe deux types de réactions chimiques exothermiques et endothermiques. Dans le processus exothermique de réactions, l'énergie est libérée tandis que dans le processus endothermique, l'énergie est observée à partir de l'environnement. Gardant à l'esprit ces applications des réactions chimiques, Ganesh et Sridhar24 ont discuté de l'effet de la réaction chimique sur la couche marginale MHD. Ils ont constaté que les valeurs croissantes de la réaction chimique diminuent le profil de concentration. Dharmaiah et al.25 ont également conclu aux mêmes résultats, en étudiant l'impact de Hall et de glissement d'ions sur des nanoliquides d'alliage aimant-litanium. Le flux radiatif MHD Casson-Nanofluid avec réaction chimique à travers le milieu Darcy – Forchiemer est examiné par Ganesh et Sridhar26. Sridhar et al.27 explorent l'étude du nanofluide MHD Williason à travers un milieu perméable au-delà d'une feuille étendue. L'approche numérique du transfert de chaleur et de masse du fluide MHD Casson avec réaction chimique est présentée par Ganesh et Sridhar28,29,30, ils ont observé que la valeur croissante du paramètre de réaction chimique est responsable de la décroissance du taux de transfert de chaleur. Les réactions chimiques dans lesquelles la vitesse de réaction est proportionnelle au mème ordre de la concentration du réactif est la réaction chimique du mème ordre31,32,33.

Dès le début, la source naturelle d'énergie solaire est utilisée au profit de l'humanité sous la forme d'obtenir de la chaleur et de la lumière. La planète Terre a reçu une quantité habitable de \(4\fois 10^{15}\) énergie m/W du soleil, soit près de 200 fois plus que l'énergie normalement utilisée. Au fil du temps, l'humanité a reconnu l'importance de l'énergie solaire et a développé diverses procédures pour stocker et convertir l'énergie solaire en énergie thermique. Zhang et al.34 ont analysé l'effet de transfert de chaleur dans l'emploi du transfert de chaleur par fusion. Ils ont découvert que l'ajout de nanoparticules peut générer plus d'énergie. L'activation de l'énergie, incorporée par réaction chimique, est responsable de plus de transfert de chaleur35. Shaheen et al.36 ont discuté des effets des caractéristiques variables sur le nanofluide de Casson poussiéreux avec une réaction chimique et une énergie d'activation d'Arrhenius. Ils mentionnent que la fonction d'Arrhenius diminue pour les valeurs croissantes de l'énergie d'activation. La réaction chimique exothermique et l'activation de l'énergie ont été discutées par Ramzan et al.37 et ont constaté que dans une réaction chimique exothermique, l'énergie des réactifs est supérieure à celle des produits finaux. Ramzan et al.38 ont discuté de l'hydrodynamique et du transfert de chaleur avec des conditions aux limites convectives. Ils ont réalisé que le système solaire thermique avait une faible efficacité en raison des faibles propriétés thermophysiques du fluide de travail.

Le but de cet article est de modéliser l'écoulement de fluide de Casson thermo-convectif non linéaire sur une surface étendue inclinée, ce qui conduira à une meilleure compréhension de l'écoulement de fluide sur des surfaces non linéaires. Les résultats numériques de cette étude peuvent être utilisés pour les systèmes biologiques, l'ingénierie textile, les industries pharmaceutiques et de production de polymères. Les grandeurs d'importance physique telles que la contrainte de cisaillement de la paroi, les taux de transfert de masse et de chaleur sont esquissées à l'aide de graphiques et de tableaux. Toutes ces quantités jouent un rôle vital dans les unités de fabrication et d'ingénierie.

Ramesh et al.45 ont étudié les effets d'injection/aspiration et de glissement en fonction du temps dans l'écoulement de nanofluide micropolaire de Casson. En présence d'énergie d'activation chimiquement réactive, Madhukesh et al.46 ont étudié le flux de convection bio-Marangoni du nanoliquide Casson à travers un milieu poreux. À l'aide d'un modèle de Buongiorno modifié, Puneeth et al.47 ont étudié le flux de convection mixte tridimensionnel du nanofluide hybride de Casson via une surface d'étirement non linéaire. Thammanna et al.48 se sont penchés sur l'étude du couple contrainte Casson écoulement fluide en trois dimensions devant une surface d'étirement instable avec une réaction chimique. D'autres études similaires sont données dans [?]. Après avoir examiné la littérature mentionnée ci-dessus, il a constaté qu'aucune attention n'a été accordée aux effets de la température et de la concentration sur la vitesse du fluide de Casson. Pour combler cette lacune, le présent article de recherche porte sur la modélisation de l'écoulement du fluide de Casson sur la surface d'une feuille poreuse étendue avec des effets de thermo-convection volumétriques linéaires et non linéaires. Les équations de Navier-Stokes sont couplées aux équations de température et de concentration, en introduisant des termes de thermo-convection linéaires et non linéaires dans l'équation de quantité de mouvement. Les équations gouvernantes de base sont transformées en un système d'ODE en utilisant des transformations appropriées. Les résultats numériques du système transformé d'ODE sont obtenus en utilisant deux schémas numériques différents, la méthode de continuation paramétrique (PCM) et le package bvp4c réalisés à l'aide du logiciel Matlab. Les deux résultats sont calculés et trouvés qu'ils sont en très bon accord les uns avec les autres. Pour une validation plus poussée des schémas numériques, les résultats obtenus sont tabulés et comparés aux travaux publiés précédemment, ce qui donne un résultat précis jusqu'à 3 décimales. Pour des raisons de convergence, d'efficacité et de précision, le temps CPU est également tabulé pour PCM et bvp4c.

Un fluide de Casson thermo-convectif linéaire et non linéaire sera considéré dans la région de \((y>0)\) sur la surface d'une feuille étendue poreuse non linéaire avec une loi de puissance donnée par \(u_{w}(x)= bx^{n}\) et température de paroi variable \(T_{w}=T_{\infty }+\delta x^{n}\) où \(\delta\) est une constante positive. Un changement de champ magnétique d'intensité \(B(x)=B_ox^\frac{m-1}{2}\) et utilisé dans la direction verticale. Les champs électriques et magnétiques induits sont ignorés en raison du faible nombre de Reynolds magnétique. Le système de coordonnées et l'esquisse physique sont illustrés à la Fig. 16.

Géométrie du problème.

Dans le problème récent, les conditions aux limites sont les suivantes6 :

Les transformations non dimensionnelles sont les suivantes :

L'utilisation du système de transformations non dimensionnelles forme des équations non dimensionnelles comme suit :

Les conditions aux limites seront :

Les paramètres utilisés sont donnés ci-dessous :

Les paramètres physiques importants, tels que le taux de transfert de masse, le taux de transfert de chaleur et le taux de contrainte de cisaillement peuvent être extraits en utilisant les définitions suivantes :

où \(Sh_{x}\), \(Nu_{x}\), \(F_{m}\), \(F_{H}\) sont respectivement le nombre de Sherwood, le nombre de Nusselt, la masse et le flux de chaleur, \(\alpha\) est la conductivité thermique et \(\sigma _{w}\) est la contrainte de cisaillement de la paroi. Ceux-ci peuvent être définis comme :

Incorporant les équations. (6) et (11) dans l'équation. (10) obtenir

où \(Re_{x}=\frac{u_{w}x}{\nu }\) est le nombre de Reynolds.

Les étapes fondamentales impliquées dans la solution du système d'ODEs Eqs. (7) et (8) sont les suivants39 :

Etape 1 : Réduction du système de BVP au premier ordre ODE :

En utilisant l'éq. (13) dans le système d'ODE Eq. (7), on obtient

les conditions aux limites correspondantes sont

Etape 2 : Introduction du paramètre d'intégration p :

Etape 3 : Différenciation par le paramètre p :

où, A et R les matrices des coefficients et des restes, respectivement et

où \(i=1,2,\ldots 7.\)

Étape 4 : Appliquer le problème de Cauchy et le principe de superposition40 :

Résolvez les deux problèmes de Cauchy suivants pour chaque composant

mettant la solution approchée Eq. (23) dans l'équation originale. (21), pour obtenir

Étape 5 : Résoudre les problèmes de Cauchy : Après avoir appliqué les approximations de différence directe pour les équations. (24) et (25), pour obtenir

La solution numérique des Eqs. (27) et (28) n'est possible que lorsque la matrice \((I-\triangle \eta A)\) est non singulière, c'est-à-dire

Les équations (29) et (30) donnent les solutions itératives explicites pour les champs de vitesse, de température et de concentration.

L'écoulement du fluide de Casson est modélisé, sous la forme de l'Eq. (7) avec des conditions aux limites appropriées (8), sur la surface de la feuille poreuse étendue à thermo-convection volumétrique non linéaire. L'étude numérique des équations modélisées est exécutée en utilisant deux techniques différentes PCM et bvp4c, et affichée par les Fig. 2, 3, 4, 5, 6 et 7. La validité des deux schémas est également présentée graphiquement Fig. 8, qui montre un contraste des résultats pour les deux techniques numériques. Une validation supplémentaire est effectuée en comparant les résultats numériques de la méthode PCM avec des travaux précédemment publiés et en tabulant les valeurs numériques dans le tableau 1. Les quantités physiques intéressées telles que le nombre de Sherwood, le nombre de Nusselt et la contrainte de cisaillement de la paroi sont illustrées par des graphiques (9-11) contre différents paramètres.

La variation du profil de concentration est représentée sur les figures 2a à d par rapport à différents paramètres tels que le paramètre de fluide de Casson \ (\ bêta \), le nombre d'Eckert Ec, le paramètre de thermophorèse Nt et le paramètre de mouvement brownien Nb. Le paramètre fluide de Casson \(\beta\) a un double comportement en recherche expérimentale, pour \(\beta =2\), il se comporte comme un fluide non newtonien, tandis que pour \(\beta \longrightarrow \infty\), il devient comme un fluide newtonien. En raison de cette double nature de \(\beta\), il est considéré comme un paramètre important à la fois dans la recherche expérimentale et théorique. Pour les valeurs croissantes de \(\beta\) allant de 1,00 à 2,50, le fluide prend progressivement la forme d'un liquide non newtonien et le fluide deviendra plus visqueux, ce qui entraîne une baisse du profil de concentration, comme le montre la Fig. 2a. Le nombre d'Eckert porte le rapport de l'énergie cinétique à l'anthalpie (différence de température). L'impact de Ec sur le profil de concentration \(\phi (\eta )\) est représenté sur la figure 2b et montre un profil croissant de \(\phi (\eta )\) avec les valeurs croissantes de Ec. Cela est dû à la relation directe entre le nombre d'Eckert et l'énergie cinétique, ce qui entraîne un transfert beaucoup plus important de molécules de fluide depuis la surface de la feuille. Comme indiqué précédemment dans "Formulation mathématique du problème", ce paramètre de thermophorèse Nt et le paramètre de mouvement brownien Nb ont une relation directe avec les différences de température et de concentration, respectivement, ce qui rend la couche limite thermique aussi petite que la couche limite de concentration, comme le montre la Fig. 2c ,d. Et cela peut justifier une diminution du profil de concentration \(\phi (\eta )\) pour les valeurs croissantes de Nt et une amélioration du profil pour les valeurs croissantes de Nb.

La figure 3a à d montre le profil de concentration pour le paramètre de réaction chimique R, le nombre de Schmidt Sc, le nombre de Prandtl Pr et le paramètre d'étirement non linéaire n pour la feuille étendue non linéaire. La réaction chimique R a la capacité d'exagérer la collision inter-molécules, ce qui entraîne une augmentation de la génération de chaleur interne du système, en raison de laquelle beaucoup plus de concentration est consommée. Cette consommation de concentration est la raison d'une réduction du profil de concentration pour les valeurs croissantes de la réaction chimique, voir Fig. 3a. La figure 3b affiche le comportement du profil de concentration par rapport au nombre de Schmidt. Le taux de transfert de masse diminue avec l'effet croissant du nombre de Schmidt, car la viscosité cinétique du fluide s'améliore avec la variation de Sc, ce qui entraîne la déclinaison de la transition de masse. Le nombre de Prandtl Pr représente le rapport de l'épaisseur visqueuse à la diffusivité thermique. L'augmentation du nombre de Prandtl entraîne une réduction significative du profil de concentration et de la couche limite de concentration, comme le montre la figure 3c. Ceci est dû à la viscosité croissante du fluide, qui entraîne une diminution du profil de concentration. La figure 3d est fournie pour faire un compagnon entre la feuille d'étirement linéaire (\(n=0\)) et la feuille d'étirement non linéaire (\(n>0\)). On note que le transfert de masse diminue sous l'action du paramètre d'étirement non linéaire n. La feuille d'étirement linéaire montre une concentration maximale par rapport à la feuille d'étirement non linéaire. L'augmentation du paramètre d'étirement non linéaire rend les moments des particules du fluide parallèles les uns aux autres et réduit le profil de concentration avec des forces d'étirement accrues, ce qui entraîne une augmentation de la pression et du mouvement de déformation.

Les figures 4a à d ont révélé les performances du profil d'énergie en fonction de la variation du paramètre de fluide de Casson \(\beta\), du nombre d'Eckert Ec, de la thermophorèse Nt et du mouvement brownien Nb respectivement. Le profil d'énergie diminue avec l'effet du paramètre de Casson, tandis qu'il augmente avec le résultat du nombre d'Eckert Ec, comme indiqué sur les Fig. 4a, b. Parce que l'étirement de la paroi augmente, tandis que la capacité thermique spécifique du fluide diminue avec la variation du nombre d'Eckert, ce qui provoque le scénario ci-dessus. La thermophorèse est le processus thermodynamique développé en raison de la différence de température dans le système d'écoulement de fluide, qui emporte les molécules de fluide chaud dans une région froide. Pour cette raison, le taux de transfert de chaleur est accéléré et peut être représenté sur la figure 4c. La figure 4d met en évidence l'augmentation du taux de propagation de l'énergie sous l'effet du mouvement brownien Nb. Le mouvement brownien ou aléatoire des particules fluides provoque la possibilité de collision entre les particules, ce qui libère l'énergie interne et donne une déclinaison du profil de température. La figure 5a–c affiche les performances du profil énergétique par rapport à la variation du paramètre n, du nombre de Prandtl Pr et du paramètre de source de chaleur \(\lambda\) respectivement. Sur ces figures, la figure 5a montre une comparaison de la feuille d'étirement linéaire (\(n=0\)) avec la feuille d'étirement non linéaire (\(n>0\)). On peut observer que le champ de température diminue avec la variation du paramètre n, tandis qu'il augmente avec l'action du nombre de Prandtl et du paramètre de source de chaleur \(\lambda\). La diffusivité thermique du fluide diminue sous l'influence du nombre de Prandtl, c'est pourquoi la température du fluide augmente avec son effet.

Les figures 6a à d ont révélé les performances du profil de vitesse par rapport à la variation du paramètre de fluide de Casson \(\beta\), du paramètre n, du paramètre de porosité K et du champ magnétique M respectivement. La figure 6a montre que le profil de vitesse diminue sous l'effet du paramètre de Casson \(\beta\), et n. La figure 6b fournit une compression des vitesses dans le cas de nappes à étirement linéaire et de nappes à étirement non linéaire. On observe que la vitesse pour la feuille d'étirement linéaire est maximale, puis lorsque le paramètre d'étirement augmente, la vitesse diminue. Les figures 6c, d ont révélé que la vitesse du fluide augmentait avec le résultat du paramètre de porosité K, tout en diminuant avec l'effet magnétique M. La variation du terme de porosité permet à plus de particules de passer à travers les pores, ce qui favorise l'écoulement du fluide, d'autre part, la force magnétique produit un effet opposé et résistant à l'écoulement du fluide, ce qui entraîne un retard du champ de vitesse.

La figure 7a–d décrit le comportement du profil de vitesse en fonction de la convection thermique non linéaire \(\sigma _{1}\), de la convection de masse non linéaire \(\sigma _{2}\), du nombre de Grashof thermique Gr et du nombre de Grashof de masse Gc respectivement. La figure 7a, b a expliqué que le champ de vitesse diminue avec l'effet croissant de la convection thermique non linéaire, tandis qu'il augmente avec la convection de masse, car une plus grande concentration de réactif est utilisée par une réaction exothermique élevée. Les figures 7c,d ont révélé que la vitesse du fluide augmentait sous l'effet du nombre de Grashof thermique et massique. Physiquement, la vitesse d'étirement de la surface s'améliore avec la variation de la masse et du nombre de Grashof thermique, ce qui entraîne l'élévation du champ de vitesse.

Les figures 8a à d affichent l'analyse comparative de PCM et Matlab intégré au package bvp4c. On peut percevoir que les deux méthodes sont en meilleur accord l'une avec l'autre. Pour plus de précision et de validité du schéma numérique actuel, les résultats de la méthode PCM sont comparés aux travaux déjà publiés. Le tableau 1 assure la précision de la présente méthode numérique jusqu'à 3 décimales, ce qui est un très bon accord avec d'autres schémas numériques.

Le tableau 2 exagère encore la validité des résultats numériques actuels avec des travaux déjà publiés. Les valeurs numériques de la contrainte de cisaillement de la paroi et du taux de transfert de chaleur pour la feuille d'étirement linéaire (\ (n = 0 \)) et la feuille d'étirement non linéaire (\ (n> 0 \)) sont tabulées dans le tableau 2, qui sont très rationnels pour l'ouvrage précédemment publié.

Le coût de calcul d'une méthode numérique joue un rôle très important dans le domaine de la dynamique des fluides numérique, en particulier en dynamique non linéaire. Le coût de calcul dépend du coût par itération et du nombre d'itérations. Le coût par itération engage sur l'efficacité tandis que le nombre d'itérations dépend de la précision de la méthode. En gardant à l'esprit cette importance de la méthode de calcul, le tableau 3 illustre le temps CPU pour PCM et bvp4c pour différentes valeurs du paramètre non linéaire n. On peut observer que dans chaque cas, le temps CPU pour PCM est plus court que bvp4c, donc PCM est préféré à bvp4c.

Les grandeurs physiques importantes, telles que le transfert de masse \(Sh_{x}(Re_{x})^{-1/2}\), le transfert de chaleur \(Nu_{x}(Re_{x})^{-1/ 2}\) et le taux de contrainte de cisaillement \(Cf_{x}(Re_{x})^{1/2}\) ont un rôle important en génie civil et mécanique et même en mécanique des sols et en génie des fondations. En raison de cette large gamme d'applications de telles quantités, les résultats numériques sont élaborés graphiquement dans les Fig. 9, 10 et 11 contre divers paramètres. La figure 9a–d montre un effet décroissant du taux de transfert de masse pour le paramètre de réaction chimique R, le paramètre de milieu poreux k et le nombre de Schmidt Sc, tandis qu'une augmentation du taux de transfert de masse pour l'indice de loi de puissance n. Il peut être déduit que l'énergie interne des particules de fluide est augmentée par le paramètre de réaction chimique R, ce qui améliore le taux de transfert de chaleur et, par conséquent, consomme plus de concentration et diminue le taux de transfert de masse. Le nombre de Schmidt Sc a une relation directe avec la viscosité du fluide \(\nu\), qui provoque une augmentation du taux de transfert de masse.

Le taux de transfert de chaleur \(Nu_{x}(Re_{x})^{-1/2}\) peut être représenté sur la Fig. 10a–d. Le taux de transfert de chaleur est augmenté à la fois pour le paramètre de réaction chimique R Fig. 10a et le paramètre de fluide de Casson \(\beta\) Fig. 10c, par rapport au nombre d'Eckert Ec et au paramètre de mouvement brownien Nb, respectivement. On peut voir que le paramètre de Casson a une relation inverse avec la viscosité du fluide dans l'équation de température. En raison de cette relation inverse, la viscosité dynamique diminuera avec les valeurs croissantes de \(\beta\) et, par conséquent, beaucoup plus de chaleur sera transférée. La figure 10b,d montre que le taux de transfert de chaleur diminue pour les valeurs croissantes du nombre de Prandtl Pr et du paramètre de source de chaleur \(\lambda\), respectivement. Cette augmentation du taux de transfert de chaleur est due à la réduction de la thermo diffusivité du fluide par le nombre de Prandtl.

La contrainte de cisaillement de paroi est la distribution uniforme du flux de fluide sur toute la surface. Ce flux uniforme est le résultat de l'induction électromagnétique qui transporte un courant uniforme dépendant du temps. Le paramètre de Casson \(\beta\) se comporte comme un liquide non newtonien, jusqu'à un certain point, ce qui crée une résistance au flux de fluide, en raison de la viscosité du fluide. C'est la raison de la réduction de la contrainte de cisaillement de paroi pour les valeurs croissantes de \(\beta\) en fonction de la flottabilité de concentration Gc (Fig. 11a). Le champ magnétique est généralement utilisé pour contrôler le comportement de turbulence du fluide en mécanique des fluides. Le champ magnétique crée une force opposée, appelée force de Lorentz, contre le mouvement de l'écoulement du fluide. C'est la raison pour laquelle les valeurs croissantes du paramètre magnétique M augmentent la force de frottement sur la surface, ce qui entraîne une réduction de la contrainte de cisaillement de paroi (Fig. 11b). La variation de la contrainte de cisaillement de la paroi en fonction du paramètre de porosité k et de l'indice de loi de puissance n est tracée sur la figure 11c. Les valeurs croissantes du paramètre de porosité interceptent la vitesse du fluide, ce qui provoque une réduction de la contrainte de cisaillement de la paroi.

Profil de concentration \(\phi (\eta )\) pour des valeurs fixes de paramètres physiques \(\lambda =0.1\) \(k=8.933\), \(Pr=6.0\), \(M=0.5\), \(Gr=0.09\), \(Gc=0.05\), \(\sigma _1=1.1\), \(\sigma _2=10.9\), \(R=0.5\), \(Ec=0.6\ ), \(Nb=0.01\), \(Nt=0.1\) \(Sc=9.0\), \(fw=1.0\), \(\varphi =0.2\), \(n=0.01\) et \(\bêta =2,5\).

Profil de température \(\theta (\eta )\) pour des valeurs fixes des paramètres physiques \(\lambda =0.1\) \(k=8.933\), \(Pr=6.0\), \(M=0.5\), \(Gr=0.09\), \(Gc=0.05\), \(\sigma _1=1.1\), \(\sigma _2=10.9\), \(R=0.5\), \(Ec=0.6\ ), \(Nb=0.01\), \(Nt=0.1\) \(Sc=9.0\), \(fw=1.0\), \(\varphi =0.2\), \(n=0.01\) et \(\bêta =2,5\).

Profil de vitesse \(f'(\eta )\) pour des valeurs fixes des paramètres physiques \(\lambda =0.1\) \(k=8.933\), \(Pr=6.0\), \(M=0.5\), \(Gr=0.09\), \(Gc=0.05\), \(\sigma _1=1.1\), \(\sigma _2=10.9\), \(R=0.5\), \(Ec=0.6\ ), \(Nb=0.01\), \(Nt=0.1\) \(Sc=9.0\), \(fw=1.0\), \(\varphi =0.2\), \(n=0.01\) et \(\bêta =2,5\).

Analyse comparative des méthodes PCM et bvp4c.

Variation du nombre de Sherwood en fonction de différents paramètres physiques.

Variation du nombre de Nusselt en fonction de différents paramètres physiques.

Variation de la contrainte de cisaillement de la paroi en fonction de différents paramètres physiques.

L'évaluation informatique a été faite pour le fluide de Casson viscoélastique sur une surface étirable perméable. Les réactions chimiques exothermiques, l'effet de génération de chaleur, le champ magnétique et l'expansion thermique/massique volumétrique non linéaire sont la contribution majeure de l'analyse actuelle. Le système proposé d'EDP, qui sont responsables du mouvement des fluides, est transformé en système sans dimension d'ODE en utilisant une transformation appropriée. L'ensemble d'équations différentielles obtenu est calculé numériquement par la procédure PCM. Les résultats suivants sont les points clés.

Le profil de vitesse augmente avec la convection de masse \(\sigma _{2}\), car une plus grande concentration de réactif est utilisée par une réaction exothermique élevée.

Physiquement, la vitesse d'étirement de la surface s'améliore avec la variation des nombres de Grashof massiques et thermiques Gr et Gc, respectivement, ce qui entraîne l'élévation du champ de vitesse.

L'énergie interne des particules de fluide est augmentée par le paramètre de réaction chimique R, qui améliore le taux de transfert de chaleur et, par conséquent, consomme plus de concentration et diminue le taux de transfert de masse.

Le nombre de Schmidt Sc a une relation directe avec la viscosité du fluide \(\nu\), qui provoque une augmentation du taux de transfert de masse.

En raison de la relation inverse, la viscosité dynamique diminuera avec les valeurs croissantes de \(\beta\) et, par conséquent, beaucoup plus de chaleur sera transférée.

Les valeurs croissantes du paramètre de porosité interceptent la vitesse du fluide, ce qui provoque une réduction de la contrainte de cisaillement de la paroi.

Les ensembles de données utilisés et analysés au cours de l'étude actuelle sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

Contrainte fluide de Casson

Source de chaleur

Concentration sans dimension

Angle incliné

Induction magnétique (tesla (T))

Coefficient de frottement cutané

Numéro d'Eckert

Fonction de flux sans dimension

Concentration de flottabilité (N)

Flottabilité thermique (N)

Terme de porosité

Perméabilité superficielle

Effet magnétique (tesla T)

mouvement brownien

Thermophorèse

Numéro Nusselt local

Numéro de Prandtl

Coefficient d'absorption

Terme de réaction chimique

Numéro Reynolds local

Numéro local de Sherwood

Température ambiante

Température de référence

Vitesse de référence

Conditions à l'infini

État de surface

Rapport de capacité calorifique (JK\(^{-1}\))

Concentration massique (g L\(^{-1}\))

Concentration ambiante (g L\(^{-1}\))

Capacité calorifique spécifique (J Kg K\(^{-1}\))

Indice de loi de puissance

Numéro de Schmidt

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Muhammad Shuaib, Muhammad Anas et Hijab ur Rehman

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Arshad Khan

Département de mathématiques, Collège des sciences Al-Zulfi, Université Majmaah, Al-Majmaah, 11952, Arabie saoudite

Ilyas Khan

Centre de recherche, Faculté d'ingénierie, Future University in Egypt, New Cairo, 11835, Égypte

Sayed M.Eldin

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MS : conçu, analysé les résultats ; MA : chiffres préparés et discutés ; RH : logiciel et codage ; AK : logiciel et codage ; IK : analyse et rédaction du manuscrit : et discussion des résultats ; PME : encadrement de la recherche, financement.

Correspondance à Arshad Khan.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Shuaib, M., Anas, M., Rehman, Hu et al. Écoulement volumétrique de fluide de casson thermo-convectif sur une surface étendue inclinée non linéaire. Sci Rep 13, 6324 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-33259-z

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Reçu : 27 décembre 2022

Accepté : 10 avril 2023

Publié: 18 avril 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-33259-z

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