Un modèle fractionnaire dans le temps d'un nanofluide de Maxwell à travers un écoulement de canal avec des applications dans la graisse

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 4428 (2023) Citer cet article

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Plusieurs scientifiques s'intéressent aux développements récents des nanotechnologies et des nanosciences. La graisse est un composant essentiel de nombreuses machines et moteurs car elle aide à les garder au frais en réduisant les frottements entre leurs différents éléments. Dans les applications à durée de vie étanche, y compris les systèmes de lubrification centralisée, les moteurs électriques, les roulements, les machines forestières et minières, les moyeux de roue de camion, la construction, l'aménagement paysager et les boîtes de vitesses, les graisses sont également utilisées. Des nanoparticules sont ajoutées à la graisse convectionnelle pour améliorer ses propriétés de refroidissement et de lubrification. Plus précisément, l'objectif actuel de l'étude est d'étudier l'écoulement en canal ouvert tout en prenant en compte la graisse en tant que fluide Maxwell avec des nanoparticules de MoS2 en suspension. La dérivée fractionnaire temporelle de Caputo-Fabrizio est utilisée pour convertir le problème d'une EDP d'ordre classique liée en un modèle fractionnaire local. Pour déterminer les solutions précises pour les distributions de vitesse, de température et de concentration, deux techniques de transformée intégrale, le sinus de Fourier fini et la technique de transformée de Laplace, sont utilisées conjointement. Les réponses qui en résultent sont explorées physiquement et affichées à l'aide de divers graphiques. Il est important de noter que le modèle fractionnaire, qui offre une variété de courbes intégrales, décrit plus précisément le comportement de l'écoulement que le modèle classique. Le frottement cutané, le nombre de Nusselt et le nombre de Sherwood sont des nombres liés à l'ingénierie qui sont déterminés quantitativement et affichés sous forme de tableau. Il a été déterminé que l'ajout de nanoparticules de MoS2 à la graisse entraîne une augmentation de 19,1146 % de la transmission de chaleur et une diminution de 2,5122 % du transfert de masse. Les résultats obtenus dans ce travail sont comparés à la littérature publiée à des fins de précision.

Les fluides newtoniens et non newtoniens sont répandus dans la nature. Les fluides newtoniens simples n'expliquaient pas de manière adéquate de nombreuses difficultés dans la nature au début. De nombreux chercheurs ont proposé divers modèles non newtoniens qui ne sont pas suffisamment couverts par la simple théorie de Navier-Stokes afin d'étudier ces problèmes. Des solutions exactes aux problèmes impliquant l'écoulement par convection libre d'un fluide visqueux sont largement disponibles dans la littérature. Parce qu'ils sont si courants, les fluides non newtoniens intéressent les chercheurs. Les chercheurs ont proposé un certain nombre de modèles mathématiques pour comprendre la mécanique des fluides non newtoniens car ils ont une grande variété de structures physiques. Ces modèles sont classés en tant que fluides de type débit ou fluides de forme différentielle générale. Maxwell1 présente l'idée du fluide Maxwell.

L'écoulement de nanofluide de Maxwell à travers un disque rotatif poreux avec l'effet du transfert de chaleur a été étudié par Ahmed et al.2. Le flux erratique d'un nanofluide de Maxwell lorsqu'il est chauffé par un rayonnement newtonien a été examiné par Raza et Asad3. Les effets du transfert de chaleur sur le flux de convection libre d'un nanofluide Maxwell hybride dans un canal vertical indéfini ont été examinés par Ahmed et al.4. En combinant les effets d'un champ électrique et magnétique avec les effets du rayonnement thermique et variable, les recherches de Khan et al.5 ont examiné le flux de nanofluide de Maxwell sur une surface d'amidon. L'écoulement de nanofluide de Maxwell à travers un milieu poreux qui s'étire avec l'influence de la magnétohydrodynamique a été discuté mathématiquement par Mukhtar et al.6. Le flux de convection mixte du nanofluide de Maxwell avec l'impact et le glissement d'ions de la salle a été examiné par Ibrahim et Abneesa7. L'écoulement du nanofluide de Maxwell sur une verticale infinie avec l'influence de la rampe et des conditions de parois isothermes a été étudié par Khan et al.8. Le flux de nanofluide MHD Maxwell à travers la feuille étirée poreuse avec des micro-organismes gyrotactiques est étudié par Safdar et al.9 et est discuté théoriquement et numériquement. Les caractéristiques de température et de masse du modèle Soret-Dufour d'écoulement de nanofluide Maxwell magnétisé à travers un plan incliné rétrécissant ont été examinées par Parvin et al.10. Ahmad et al.11 ont examiné le flux de nanofluide bio-convectif de Maxwell via une feuille étirée de manière exponentielle avec la condition aux limites convective. Rasool et al.12 ont examiné le milieu de Darcy-Forchheimer et le rayonnement thermique dans le flux de nanofluide magnétohydrodynamique (MHD) Maxwell confronté à une surface étirée. Alsallami et al.13 ont effectué une analyse numérique du flux de nanofluide à travers un disque rotatif chauffé sous les effets du mouvement brownien, de la thermophorèse et du rayonnement non linéaire.

Dans une lettre à Leibniz, L'Hospital pose un problème qui conduit au développement du calcul fractionnaire14. L'Hôpital a posé des questions sur \(D^{n} f(r)/Dr^{n}\) cette lettre. Lorsque L'Hospital s'est enquis du résultat de n = 1/2, Leibniz a répondu que cela semblerait initialement être une contradiction dont des idées importantes seraient un jour tirées. Des mathématiciens célèbres dont Euler, Laplace, Fourier, Lacroix, Abel, Riemann et Liouville ont développé un intérêt pour le sujet après cette conversation. Ils ont contribué à sa croissance. Pendant quelques décennies, les mathématiciens étaient les seuls à connaître ce sujet. Mais ces dernières années, l'idée de ce sujet a été étendue à diverses autres disciplines de différentes manières, y compris la modélisation des signaux de parole15,16,17,18,19,20, la modélisation de l'interface des électrodes du tissu cardiaque21, la modélisation de la propagation des ondes sonores dans milieu perméable solide22, gouvernance latérale et longitudinale du véhicule Sovran23, etc. Les dérivés fractionnaires les plus populaires étaient les dérivés de Riemann – Liouville. Ces produits dérivés, cependant, présentaient de sérieuses limites et ne s'appliquaient qu'à une catégorie spécifique d'émissions. Par exemple, dans la dérivée fractionnaire de Riemann – Liouville, la constante ne donne pas zéro lorsque nous prenons sa dérivée.

Pour remédier à ces lacunes, Caputo développe un nouveau dérivé, mais le noyau du dérivé Caputo est resté singulier. Pour répondre à ces préoccupations,24 a développé un nouvel opérateur fractionnaire basé sur une fonction exponentielle sans noyau solitaire en 2015. La transformation de Laplace fonctionne également avec la dérivée de Caputo-Fabrizio (CF).25 a étudié l'écoulement d'un fluide visqueux via une plaque infiniment mobile. . En raison de sa nature abstraite, le calcul fractionnaire n'a pas initialement attiré l'attention des chercheurs. Sa méthode a évolué au fil du temps de conceptuel à pratique et, par conséquent, elle a gagné en popularité parmi les universitaires. Contrairement au calcul classique, les dérivées non entières sont beaucoup plus répandues dans pratiquement toutes les disciplines scientifiques26,27,28,29.

Les applications pratiques des dérivés locaux s'étendent au-delà de l'ingénierie pour inclure les circuits intégrés, l'électrochimie, les probabilités, l'ajustement des courbes et la fusion nucléaire30,31,32. Imran et al.33 ont observé la rhéologie du fluide de Maxwell fractionné en présence d'effets de chauffage newtoniens tout en gardant à l'esprit la pertinence indiquée. Les auteurs ont changé un modèle non local en un modèle d'ordre fractionnaire mathématique local en utilisant l'opérateur CF. Dans un fluide Maxwell avec un dérivé CF, Khan et al.34 ont examiné l'évaluation du transfert de chaleur sur une plaque verticale fluctuante. En le généralisant à l'aide de la dérivée fractionnaire CF, Saqib et al.35 ont exploré le flux de convection libre d'un nanofluide hybride avec transfert de chaleur.

Les nanofluides ont un impact significatif sur une variété de secteurs industriels où la transmission de la chaleur est essentielle en raison de leurs propriétés de conductivité thermique améliorées. Afin d'améliorer la conductivité thermique des fluides ordinaires, Choi36 a créé la théorie contemporaine de l'interruption des particules nanométriques. L'isolation thermique, la production d'énergie, le refroidissement des réacteurs nucléaires, le traitement de l'électricité et le traitement du cancer ne sont que quelques-unes des nombreuses utilisations des nanofluides. Les applications des nanofluides vont au-delà de la simple augmentation de la conductivité thermique des fluides ; ils jouent également une fonction bénéfique dans les technologies intelligentes, l'administration de médicaments, le diagnostic des maladies, la transformation des aliments et d'autres domaines37. Les caractéristiques mécaniques des nanoparticules ont été étudiées par Guo et al.38 pour de toutes nouvelles applications dans une variété d'industries, telles que l'ingénierie de surface, la tribologie et le revêtement.

Burg et al.39 ont mené une enquête sur le poids des fluides des cellules individuelles, des biomolécules et des nanoparticules. Dans un petit échangeur de chaleur à coque et à tube avec et sans ailette, Bahiraei et Monavari40 ont étudié l'impact de différentes morphologies de nanoparticules sur les performances thermohydrauliques d'un nanofluide de boehmite. Le nanofluide Al2O3-eau a été utilisé dans l'étude de Mazaheri et al.41 sur les propriétés d'un échangeur de chaleur à microcanaux à quatre couches à contre-courant. Dans leur enquête sur le côté tuyau, Bahiraei et Monavari42 ont utilisé de l'eau comme fluide froid et un nanofluide avec cinq morphologies de particules distinctes comme fluide chaud. Dans un échangeur de chaleur à trois tubes, une nouvelle nervure en spirale sertie avec des propriétés d'irréversibilité a été utilisée par Bahiraei et al.43 dans leur étude sur les applications thermiques.

Les huiles ne sont pas toujours le meilleur choix lorsqu'il s'agit de lubrifier des pièces. Le lubrifiant peut avoir besoin de coller à une pièce dans certaines situations. Un entretien régulier est nécessaire pour arrêter les taches et les dommages causés par les fuites d'huile, ce qui est coûteux en temps et en argent. Seule la graisse doit être changée tous les 6 mois, permettant à un roulement de fonctionner jusqu'à un changement de rouleau. Plus d'argent a été économisé en supprimant les tâches de maintenance telles que le changement de l'ouïe des phoques. En revanche, les composants difficiles à obtenir nécessitent une lubrification. Les lubrifiants semi-solides de type graisseux, qui partagent de nombreuses caractéristiques avec leurs homologues fluides, sont conçus pour coller ou adhérer aux pièces qu'ils sont censés lubrifier. La graisse est fréquemment utilisée pour réduire la friction dans les machines. La graisse lubrifiante est composée de trois ingrédients : huile, épaississant et additifs. Les principaux ingrédients des formulations de graisse, l'huile de base et le kit d'additifs, ont un impact considérable sur le comportement de la graisse. L'épaississement, également appelé éponge, maintient le lubrifiant en place. La graisse peut prolonger la durée de vie des équipements difficiles à atteindre pour les lubrifications multiples et les sections usées qui étaient auparavant lubrifiées à l'huile en maintenant des films plus épais dans les jeux élargis par l'usure. Les graisses de haute qualité peuvent lubrifier des composants exceptionnellement difficiles à atteindre pendant de longues périodes sans avoir besoin d'être renouvelées régulièrement. Les systèmes de lubrification centralisée, les moteurs électriques, les roulements, les moyeux de roue de camion pour l'équipement forestier et minier, la construction, l'aménagement paysager et les boîtes de vitesses ne sont que quelques-unes des applications à durée de vie scellée qui utilisent ces graisses. Dans les technologies contemporaines, notamment l'industrie pétrolière, les agents d'étanchéité, l'industrie automobile et le secteur de la métallurgie, la graisse a des applications pratiques44,45,46,47. Les caractéristiques tribologiques des graisses lubrifiantes conductrices ont été explorées par Fan et al.48 qui ont également couvert les méthodes expérimentales, y compris la microscopie électronique à balayage pour étudier les processus de frottement. Les qualités des graisses, notamment celles à base de savon métallique, dépendent non seulement de leur composition mais aussi de la façon dont les épaississants sont préparés et mélangés49.

D'après l'étude de la littérature ci-dessus, il est évident qu'aucune solution exacte n'est rapportée pour l'écoulement de nanofluide Maxwell en utilisant l'approche fractionnelle CF. Pour combler cette lacune, nous avons considéré un écoulement en canal ouvert de nanofluide de Maxwell ainsi qu'un transfert de chaleur et de masse. À cette fin, des équations constitutives pertinentes ont été utilisées pour modéliser le problème en termes d'EDP classiques et généralisées à l'aide de l'approche dérivée fractionnaire de Caputo-Fabrizio. Le modèle fractionnaire obtenu est résolu en utilisant conjointement deux outils mathématiques différents, à savoir la transformée sinusoïdale finie de Fourier et la technique de transformée de Laplace. Plus important encore, la recherche actuelle se concentre sur l'utilisation de nanoparticules de MoS2 dans la graisse pour améliorer les propriétés mécaniques telles que la faible réduction du frottement de la machine, la faible puissance de transfert de chaleur, la faible lubrification et divers autres problèmes mécaniques.

Dans le présent travail, nous avons supposé un écoulement de nanofluide viscoélastique de Maxwell entre deux plaques parallèles verticales séparées par une distance de d. Le mouvement du fluide est considéré dans \(x\) la direction en présence de force de flottabilité. Pour améliorer le taux de transfert de chaleur, des nanoparticules de MoS2 sont suspendues uniformément dans la graisse, qui est prise comme fluide de base. Initialement, la plaque et le fluide sont au repos avec une température ambiante \(T_{1\infty }\) et une concentration constante \(C_{1\infty }\). Pour t = 0+, la température et la concentration de la plaque de gauche ont augmenté jusqu'à T1w et C1w. Les équations déterminantes du régime d'écoulement donné sont les suivantes (Fig. 1):

La configuration physique du problème.

À la lumière des hypothèses, les champs de vitesse, de température et de concentration sont donnés par ;

Les équations de continuité, de quantité de mouvement, de chaleur et de concentration sous forme constitutive sont données comme suit50,51 :

En gardant à l'esprit l'hypothèse et les équations. (1)–(3), Éqs. (5)–(7) prendra la forme :

Sous réserve des conditions physiques imposées ci-dessous :

Dans le système d'équations ci-dessus, la composante de vitesse du nanofluide de Maxwell le long de l'axe des x est désignée par \(u_{1}\), \(T_{1}\) est la température du fluide, \(T_{1\ infty }\) indique la température ambiante et \(T_{1w}\) est la température du mur. Les propriétés thermophysiques de la graisse et des nanoparticules de MoS2 sont données dans le tableau 1.

Pour les nanofluides, expression de \(\rho_{nf} ,\,\left( {\rho \beta } \right)_{nf} ,\left( {\rho c_{p} } \right)_{nf} ,\,\,k_{nf} ,\,\) est donné par20.

Les grandeurs non dimensionnelles sont :

En utilisant l'éq. (13), les formes sans dimension des Eqs. (8)–(11) sont donnés comme suit :

Conditions physiques sous forme adimensionnelle :

Étaient

\(\lambda = \frac{{\lambda_{1} U_{0} }}{d}\), \(\ell = (1 - \phi ) + \phi \frac{{\rho_{s} } }{{\rho_{f} }}\), \(\ell_{1} = \left( {1 - \phi } \right) + \phi \frac{{\left( {\rho \beta_{T } } \right)_{s} }}{{\left( {\rho \beta_{T} } \right)_{f} }},\) \(\ell_{2} = \left( {1 - \phi } \right) + \phi \frac{{\left( {\rho \beta_{c} } \right)_{s} }}{{\left( {\rho \beta_{c} } \ droite)_{f} }},\) \(\ell_{3} = \frac{1}{{\left( {1 - \phi } \right)^{2.5} }}\), \(Gr = \frac{{g\beta_{T} \rho d^{2} \left( {T_{w} - T_{d} } \right)}}{{U_{0} \mu }}\), \(Gm = \frac{{g\beta_{C} \rho d^{2} \left( {C_{w} - C_{d} } \right)}}{{U_{0} \mu }} \), \({\text{Re}} = \frac{{U_{0} d}}{\upsilon }\), \(A = Gr\ell_{1} \ell_{3}\), \ (A_{1} = Gm\ell_{2} \ell_{3}\), \(A_{2} = \ell \ell_{3} {\text{Re}}\), \(\Pr = \ frac{{\mu C_{p} }}{k}\), \(\psi = \frac{{\Pr {\text{Re}} \phi_{2} }}{{\phi_{1} } }\), \({\text{Sc = }}\frac{{\nu_{f} }}{{D_{f} }}\), \(\varphi = \frac{{Sc{\text{ Re}} }}{1 - \phi }\).

En appliquant la dérivée fractionnaire de Caputo-Fabrizio (CF), Eqs. (14)–(16) prendra la forme suivante :

où \({}^{CF}D_{t}^{\alpha } \left( . \right)\) est l'opérateur fractionnaire de temps CF, qui est donné par52 :

où \(M(\alpha )\) est une fonction de normalisation telle que \(M(0) = M(1) = 1\).

En appliquant la technique de transformée de Laplace à l'Eq. (19) et en incorporant les IC et les BC, nous obtenons :

En appliquant la transformée sinusoïdale de Fourier finie à l'Eq. (22), on obtient :

En appliquant la transformée de Laplace inverse sur l'Eq. (23), nous sommes arrivés à :

où \(a_{2} = \frac{{a_{1} \left( {n\pi } \right)^{2} }}{a\psi + n\pi }\), \(a_{3 } = \left( {\frac{n\pi }{{a\psi + n\pi }}} \right)\left( {\frac{{a_{1} - a_{2} }}{{a_ {2} }}} \right)\), \({\text{a}} = \frac{1}{1 - \alpha },\,\,{\text{a}}_{1} = \frac{\alpha }{1 - \alpha }\)

En appliquant la transformée sinusoïdale de Fourier finie inverse à l'équation. (24), on obtient :

En appliquant la technique de transformée de Laplace à l'Eq. (20) et en incorporant ICs et BCs, on obtient :

En appliquant la transformée sinusoïdale finie de Fourier à l'équation. (26), on obtient :

En appliquant la transformée de Laplace inverse à l'Eq. (27), on obtient :

Ici,

En appliquant la transformée sinusoïdale finie inverse de Fourier à l'équation. (28), on obtient :

Application de la transformée de Laplace à l'équation. (14) et en incorporant ICs et BCs, on obtient :

En appliquant une transformée de Fourier sinusoïdale finie à l'Eq. (30), on obtient

En appliquant la transformée de Laplace inverse à l'Eq. (31), on obtient la forme suivante :

Maintenant, appliquez la transformée sinusoïdale finie inverse de Fourier à l'équation. (32) pour obtenir le formulaire suivant :

Introduit certaines constantes

La forme dimensionnelle du nombre de Nusselt pour un nanofluide de Maxwell est donnée par8 :

En utilisant l'éq. (13), la forme sans dimension de l'Eq. (34) devient :

La forme dimensionnelle du nombre de Sherwood pour un nanofluide de Maxwell est donnée par8 :

En utilisant l'éq. (13), la forme sans dimension de l'Eq. (36) devient :

La forme dimensionnelle de la contrainte de cisaillement non nulle pour le fluide de Maxwell est donnée par :

Pour un nanofluide de Maxwell, Eq. (38) prend la forme suivante :

En utilisant l'éq. (12) et éq. (13), la forme sans dimension de l'Eq. (39) devient :

où \(\tau_{xy} = \frac{{\tau_{xy}^{*} \,d}}{{\mu_{f} U_{0} }}\) est la forme sans dimension de la contrainte de cisaillement non nulle et \(\lambda = \frac{{\lambda_{1} U_{0} }}{d}\) est le paramètre de Maxwell sans dimension.

Ce problème est considéré pour l'écoulement des nanofluides de Maxwell à travers des plaques verticales. Par conséquent, le frottement cutané sur les plaques gauche et droite est donné par :

où \(Sf_{lp}\) et \(Sf_{rp}\) désignent le frottement cutané aux plaques gauche et droite, respectivement.

Les résultats obtenus donnés dans les équations. (25), (29) et (33) peuvent être ramenés aux résultats publiés par Khalid et al.53 en ignorant \(\lambda \to 0\), \(\alpha \to 1\) et le nombre de Grashof de masse Gm .

Cette section comprend l'explication définitive du flux de convection libre du modèle de fluide Maxwell. L'approche des variables non dimensionnelles est appliquée pour rendre le système PDE sans dimension. Le modèle fluide de Maxwell fractionnaire a été développé en implémentant la dérivée fractionnaire temporelle CF. L'utilisation conjointe des techniques de Laplace et Sine Finite Fourier a permis d'évaluer des résultats exacts pour les profils de vitesse, de température et de concentration. Les propriétés thermophysiques des nanoparticules de MoS2 et de la graisse sont données dans le tableau 1. L'analyse graphique montre divers paramètres intégrés \(\alpha ,\,\tau ,\,\lambda ,\,Gm,\,Gr,\,{\text{ Re}} ,\,Sc\) et \(\phi\) sur les profils de vitesse, de température et de concentration. En outre, dans les Fig. 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8, l'impact de divers paramètres sur la distribution de vitesse est montré. L'impact de divers paramètres sur le profil de température est représenté graphiquement sur les Fig. 9 et 10. Enfin, l'impact des paramètres intégrés sur la distribution de concentration est représenté graphiquement dans les Figs. 11 et 12.

L'effet de différentes valeurs de \(\alpha\) sur la distribution de vitesse du nanofluide de Maxwell, lorsque \({\text{Re}} = 10\), \(\tau = 0,5\), \(\phi = 0,02\ ), \(Gr = 0,05,\) \(Gm = 0,5,\) \(\Pr = 6300,\) \(Sc = 15\) et \(\lambda = 0,5\).

L'effet de différentes valeurs de \(\lambda\) sur la distribution de vitesse du nanofluide de Maxwell, lorsque \({\text{Re}} = 10\), \(\alpha = 0,7\), \(\tau = 0,5\ ), \(\phi = 0,02\), \(Gr = 0,05\,\), \(\Pr = 6300\), \(Sc = 15\) et \(Gm = 0,5\).

L'effet de différentes valeurs de Gm sur la distribution de vitesse du nanofluide de Maxwell, lorsque \({\text{Re}} = 10\), \(\alpha = 0,7\), \(\tau = 0,5\), \(\ phi = 0,02\), \(Gr = 0,05\,\), \(\Pr = 6300\), \(Sc = 15\) et \(\lambda = 0,5\).

L'effet de différentes valeurs de Gr sur la distribution de vitesse du nanofluide de Maxwell, lorsque \({\text{Re}} = 10\), \(\alpha = 0,7\), \(\tau = 0,5\), \(\ phi = 0,02\), \(Gm = 0,5\), \(\Pr = 6300\), \(Sc = 15\) et \(\lambda = 0,5\).

L'effet de différentes valeurs de Re sur la distribution de vitesse du nanofluide de Maxwell, lorsque \(\alpha = 0,7\), \(\tau = 0,5\), \(\phi = 0,02\), \(Gm = 0,5,\) \(Gr = 0,05\), \(\Pr = 6300\), \(Sc = 15\) et \(\lambda = 0,5\).

L'effet de différentes valeurs de Sc sur la distribution de vitesse du nanofluide de Maxwell, lorsque \(\alpha = 0,7\), \(\tau = 0,5\), \(\phi = 0,02\),\(Gm = 0,5,\) \(Gr = 0,05\), \(\Pr = 6300\), \({\text{Re}} = 10\) et \(\lambda = 0,5\).

L'effet de différentes valeurs de \(\phi\) sur la distribution de vitesse du nanofluide de Maxwell, lorsque \(\alpha = 0,7\), \(\tau = 0,5\), \(Sc = 15\),\(Gm = 0,5,\) \(Gr = 0,05\), \(\Pr = 6300\), \({\text{Re}} = 10\) et \(\lambda = 0,5\).

L'effet de différentes valeurs de \(\alpha\) sur la distribution de température du nanofluide de Maxwell, lorsque \(\phi = 0,02\) et \(\Pr = 6300\).

L'effet de différentes valeurs de \(\phi\) sur la distribution de la température du nanofluide de Maxwell, lorsque \(\alpha = 0,7\) et \(\Pr = 6300\).

L'effet de différentes valeurs de \(\alpha\) sur la distribution de concentration du nanofluide de Maxwell, lorsque \(\phi = 0,02\) et \(Sc = 20\).

L'effet de différentes valeurs de \(\phi\) sur la distribution de concentration du nanofluide de Maxwell, lorsque \(\alpha = 0,7\) et \(Sc = 20\).

La figure 2 est tracée pour analyser la rhéologie de l'écoulement en réponse aux paramètres fractionnaires \(\alpha\). Le principal avantage du modèle fractionnaire est qu'il fournit plus d'une couche de fluide pour l'étude du comportement des fluides. Cela donne à l'expérimentateur et aux chercheurs plus d'options pour comparer leurs recherches au modèle fractionnaire, ce qui est impossible avec un modèle mathématique classique.

La vitesse du nanofluide de Maxwell par rapport au paramètre de matériau \(\lambda\) est représentée sur la figure 3. On peut le voir à partir de l'expression du paramètre de matériau directement lié à la viscosité du fluide. Par conséquent, en augmentant les valeurs de \(\lambda\), les forces visqueuses augmentent, ce qui entraîne une diminution du mouvement du fluide.

L'impact du nombre de Grashof de masse \(Gm\) sur le champ de vitesse a été tracé sur la Fig. 4. À partir de la figure, on peut voir clairement que le profil de vitesse s'améliore pour une plus grande amplitude de Gm. Cette tendance dans le champ de vitesse est physiquement vraie car lorsque la valeur de Gm augmente, le niveau de concentration près de la plaque augmente et nous savons que le fluide se déplace d'une zone de concentration plus élevée à une zone de concentration plus faible, une tendance à la hausse a donc été observée.

Les coups vers le haut de \(Gr\) sur le champ de vitesse de la graisse ont été tracés sur la Fig. 5. Un comportement croissant a également été observé pour les valeurs croissantes de Gr. Physiquement, cette tendance est vraie car la plus grande amplitude de Gr affaiblit la couche limite du fluide et produit des forces de rebond dans le fluide. En raison de ces effets, le mouvement du fluide s'accélère.

L'effet du nombre de Reynold Re sur le profil de vitesse a été représenté sur la figure 6. On peut voir sur la figure que le profil de vitesse montre une tendance à la baisse pour une plus grande amplitude de Re. Physiquement, Re montre la relation entre les forces d'inertie et les forces visqueuses. Au fur et à mesure que la valeur de Re augmente, les forces visqueuses dans le fluide augmentent, ce qui entraîne une épaisseur de la limite de quantité de mouvement et un ralentissement du fluide.

La figure 7 montre l'influence de Sc sur la vitesse du nanofluide de Maxwell. La vitesse du nanofluide de Maxwell est étudiée en augmentant Sc. Puisque Sc est le rapport de la diffusion de masse aux forces visqueuses, l'augmentation de Sc augmente les forces visqueuses et réduit la diffusion de masse, ce qui réduit la vitesse.

La figure 8 illustre la variance du profil de vitesse sur une variété de valeurs différentes de \(\phi\). Cette figure montre que l'augmentation des valeurs de \(\phi\) diminue sa vitesse. La raison de la diminution de la vitesse est que lorsque \(\phi\) augmente, la viscosité du fluide augmente, ce qui entraîne un ralentissement de la vitesse.

La figure 9 montre l'impact du paramètre fractionnaire \(\alpha\) sur la température. Cette figure montre également le comportement de la distribution de température pour l'ordre classique en prenant \(\alpha = 1\) ainsi que l'ordre fractionnaire \(0 < \alpha < 1\) par rapport aux modèles classiques. Le modèle fractionnaire est plus généralisé, plus efficace pour décrire l'effet mémoire et offre un large éventail de solutions. Comparé au modèle nanofluide Maxwell classique, le modèle nanofluide Maxwell d'ordre fractionnaire fournit une meilleure explication du transfert de chaleur à des degrés divers.

La figure 10 montre l'effet de \(\phi\) sur la distribution de température. Une augmentation de la distribution de température est constatée pour des valeurs croissantes de ϕ. La graisse ordinaire a une faible conductivité thermique et des propriétés de lubrification. \(MoS_{2}\) a une conductivité thermique élevée, ce qui augmentera le taux de transfert de chaleur de la graisse ordinaire et la conductivité thermique de la graisse ordinaire. Comme \(MoS_{2}\) est également utilisé comme lubrifiant sec, il augmentera également le pouvoir lubrifiant de la graisse ordinaire.

La figure 11 montre les impacts du paramètre d'ordre fractionnaire temporel sur la distribution de concentration. Cette figure montre le comportement de la distribution de concentration pour l'ordre classique \(\alpha = 1\) et l'ordre fractionnaire \(0 < \alpha < 1.\) La même tendance a été remarquée en réponse au paramètre d'ordre fractionnaire, comme nous discuté dans la figure 9.

La figure 12 montre l'impact de \(\phi\) sur la distribution des concentrations. Comme le montre la figure, la distribution de la concentration diminue avec l'augmentation des valeurs de et. La raison de ce phénomène est que lorsque la distribution de concentration diminue, les forces visqueuses augmentent.

La figure 13 compare nos résultats aux résultats de l'article publié de Khalid et al.53 pour valider nos solutions obtenues. A partir de cette figure, nos résultats correspondent aux résultats de Khalid et al.53 en prenant \(\lambda \to 0\), \(\alpha \to 1\) et \(Gm \to 0\).

Comparaison des présents résultats avec les résultats publiés de Khalid et al.53.

La variation du frottement cutané sur les plaques inférieure et supérieure est indiquée dans les tableaux 2 et 3. Ces tableaux affichent les effets du frottement cutané pour les modèles de nanofluides Maxwell fractionnaires et classiques ainsi que d'autres paramètres physiques. Les tableaux 4 et 5 décrivent les variations des nombres de Nusselt et de Sherwood, respectivement, pour des valeurs distinctes de \(\phi\). Le taux de transfert de chaleur augmente à 12,38 % et la distribution de masse diminue à 2,14 % en ajoutant des nanoparticules jusqu'à 4 %.

Le but de cette étude est d'examiner des solutions de forme fermée pour l'écoulement de nanofluide Maxwell dans des canaux ouverts. Des nanoparticules de MoS2 sont utilisées, tandis que la graisse est le fluide de base. La dérivée fractionnaire de Caputo-Fabrizio, qui est récemment apparue comme la dérivée fractionnaire la plus populaire, est ensuite utilisée pour généraliser le modèle classique. Grâce à l'utilisation de la technique de Fourier fini, de la transformée sinusoïdale et de la transformée de Laplace, les solutions du système couplé sont obtenues. Les résultats collectés sont également représentés dans les graphiques. Les principaux résultats de l'étude sont énumérés ci-dessous.

Les variations de tous les profils sont représentées pour différentes valeurs de α. Il est important de mentionner ici que nous avons différentes lignes pour une valeur de temps. Cet effet montre l'effet mémoire dans le fluide, qui ne peut pas être démontré à partir de la dérivée d'ordre entier.

Les résultats actuels sont réductibles au modèle nanofluide classique de Maxwell en prenant \(\alpha \to 1\).

La vitesse du nanofluide Maxwell diminue en augmentant la quantité de nanoparticules de MoS2.

L'utilisation de nanoparticules dans la graisse augmente le taux de transfert de chaleur, ce qui augmentera bien sûr la durée de vie, la friction et la lubrification dans différents moteurs et machines.

Le profil de vitesse du nanofluide de Maxwell augmente par rapport à \(\lambda\), Gm et \(Gr\).

En augmentant la valeur de \(\phi\), les transferts de chaleur ont augmenté jusqu'à 11,46 %.

Le taux de transfert de masse diminue à 2,5122 % de la graisse ordinaire.

Voici quelques recommandations pour étendre le défi susmentionné aux futurs chercheurs.

Les coordonnées cylindriques peuvent être ajoutées à la portée de cette question.

Diverses nanoparticules peuvent être ajoutées à diverses fins.

La méthode proposée peut être utilisée pour représenter une variété de fluides non newtoniens, y compris le fluide de deuxième qualité, le fluide de Jeffery, le fluide de contrainte de couple et autres.

Les ensembles de données utilisés et analysés au cours de l'étude actuelle sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

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Sayed M.Eldin

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Correspondance à Farhad Ali.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Reçu : 30 décembre 2021

Accepté : 14 mars 2023

Publié: 17 mars 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-31567-y

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Problèmes de valeur limite (2023)

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