Solutions exactes via l'approche fractionnelle de Prabhakar pour étudier les caractéristiques de transfert de chaleur et d'écoulement d'un nanofluide hybride soumis à des effets de forme et de glissement

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 7810 (2023) Citer cet article

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Le cœur de cette étude est de développer un modèle généralisé au moyen d'une technique fractionnée récemment proposée afin d'anticiper l'amélioration de l'efficacité thermique de l'huile moteur en raison de la dispersion des nanoparticules de graphène et de magnésie. En plus d'étudier les attributs synergiques des particules précédentes, ce travail évalue les impacts de forme pour les formes de type colonne, brique, tétraèdre, lame et lamelle. Dans le modèle primaire, l'équation de débit est couplée à des fonctions de concentration et d'énergie. Ce système classique est transmuté en un environnement fractionnaire en généralisant les expressions mathématiques des flux thermiques et de diffusion grâce à l'opérateur fractionnaire de Prabhakar. Dans cette étude, des conditions d'écoulement progressif et de glissement de température sont appliquées simultanément pour la première fois pour examiner le comportement d'un nanofluide hybride. L'analyse mathématique de ce problème implique l'incorporation de paramètres indépendants de la dimension dans le modèle et l'exécution de la transformée de Laplace pour les équations qui en résultent. Ce faisant, des solutions exactes sont dérivées sous la forme de fonctions Mittag – Leffler. De multiples illustrations sont développées à force de solutions exactes pour mastiquer tous les aspects des variations de température et de la dynamique des écoulements. Pour la préparation de ces illustrations, le détail des plages paramétriques est le suivant : \(0.00 \le \varUpsilon \le 0.04\), \(2.0 \le Gr_1 \le 8.0\), \(0.5 \le Sc \le 2.0\), \(0.1 \le \uptau \le 4.0\), \(0.1 \le d \le 0.6\), \(0.2 \le \lambda _1 \le 1.5\), et \(1.0 \le Gr_2 \le 7.0\). La contribution de nanoparticules de formes différentes, de proportions volumiques et de paramètres fractionnaires dans l'amélioration des attributs de transfert de chaleur de l'huile moteur est également anticipée. À cet égard, les résultats pour le nombre de Nusselt sont fournis sous forme de tableau. De plus, une brève analyse de la contrainte de cisaillement est effectuée pour les paramètres fractionnaires et diverses combinaisons de magnésie, de graphène et d'huile moteur. Cette enquête prévoit que l'hybridation de l'huile moteur avec la magnésie et le graphène entraînerait une augmentation de 33% de ses performances thermiques, ce qui améliore évidemment son importance industrielle. L'amélioration du nombre de Schmidt donne une amélioration du taux de transfert de masse. Une augmentation de la fraction volumique collective conduit à rehausser le profil du champ thermique. Cependant, la vitesse indique un comportement décroissant. Le nombre de Nusselt atteint sa valeur la plus élevée (\(Nu=8.1363\)) pour la forme laminaire des particules considérées. Lorsque l'intensité de la force de flottabilité augmente, la vitesse augmente.

L'objectif technologique spécifique de contrôler avec précision les molécules et les atomes en utilisant divers outils et techniques pour fabriquer différents objets à grande échelle est reconnu comme la nanotechnologie. À l'ère contemporaine du progrès, où les matériaux et les machines deviennent chaque jour plus petits et accumulent plus de caractéristiques et de fonctions, la nanotechnologie se développe rapidement. Il offre une évolution scientifique approfondie et facilite le développement et le fonctionnement de multiples gadgets et outils avancés dans de nombreuses industries. Par exemple, l'industrie pharmaceutique, les raffineries de pétrole, la nanoélectronique, la construction automobile, le secteur de l'énergie et bien d'autres. Les aspects les plus intrigants de la nanotechnologie pour les scientifiques comprennent les avantages économiques, l'efficacité du temps et des ressources et l'amélioration des caractéristiques des objets. Des chercheurs de diverses disciplines, par exemple l'ingénierie des biomatériaux, la nanomédecine, la chimie organique, la science des surfaces et la production d'énergie, ont discuté des avantages et des applications de la nanotechnologie1,2. L'un des principaux éléments constitutifs de la nanotechnologie est le nanofluide, qui est principalement utilisé pour gérer de manière adéquate les complications du transfert de chaleur. De nos jours, l'acquisition d'un contrôle de température suffisant pour les équipements ultrasensibles dans de nombreuses opérations industrielles telles que l'isolation thermique, les centrales nucléaires, le revêtement des fibres, les échangeurs de chaleur et la fluidisation des réacteurs est le défi primordial. Les fluides réguliers participant à ces activités n'ont pas les caractéristiques nécessaires pour l'évacuation de la chaleur excédentaire. Par conséquent, les experts ont mis au point un certain nombre de méthodologies pour améliorer l'adéquation thermique de ces fluides réguliers. L'émergence des nanofluides, qui non seulement servent la cause de l'augmentation des potentiels de transport de chaleur, mais améliorent également les caractéristiques anti-usure, de lubrification et de prévention de la corrosion des fluides habituels, est créditée d'un changement de paradigme dans ce domaine.

Un fluide développé par l'immersion de nanoparticules dans des fluides ordinaires comme les huiles, l'eau, les boues de forage et les lubrifiants est appelé un nanofluide. Ces particules ont des diamètres inférieurs à 100 nanomètres et peuvent être constituées de nanotubes de carbone, d'oxydes (CO\(_2\), ZnO, MgO), de métaux (zinc, argent, fer) ou de non-métaux (silice, graphène). En raison de l'origine des nanofluides, une pléthore de nouvelles disciplines, telles que l'ingénierie moléculaire, la nanophotonique et la science des matériaux, ont émergé dans plusieurs branches de l'ingénierie et de la technologie. L'immersion de particules solides dans des fluides réguliers donne un certain nombre de résultats positifs, par exemple, les nanofluides qui en résultent possèdent des propriétés tribologiques efficaces, des potentiels de lubrification améliorés et de meilleures performances en termes de gestion thermique. Ces avantages considérables soutiennent les nanofluides en tant que remplacement viable des fluides ordinaires pour diverses opérations et équipements tels que la microélectronique, les systèmes de réfrigération domestiques, les capteurs optiques, les opérations de combustion et les échangeurs de chaleur. En plus de cela, une approche intéressante pour augmenter la productivité de plusieurs outils et systèmes industriels et commerciaux, par exemple, les appareils électroniques, les transformateurs, les radiateurs de véhicules, les accumulateurs d'énergie, les capteurs solaires et les centrales électriques, consiste à utiliser des nanofluides au lieu de fluides ordinaires.

Au cours de la décennie actuelle, d'innombrables investigations analytiques et expérimentales ont été menées pour évaluer divers aspects des nanofluides. Subramanian et al.3 ont examiné la chute de pression et les performances de transport de chaleur du nanofluide TiO\(_2\)–H\(_2\)O dans les domaines d'écoulement turbulent, transitionnel et laminaire. Ils ont observé une augmentation de 25 % du comportement thermique de l'eau ainsi qu'une perte de charge légèrement supérieure à cause des nanoparticules de TiO\(_2\). Hussain et al.4,5 ont comparé le comportement de plusieurs nanofluides à base d'huile moteur dans un cadre rotatif et ont également discuté des impacts d'une condition de glissement partiel pour l'écoulement sur une feuille d'étirement. Dans une étude, ils ont rapporté que les nanoparticules d'oxyde de zinc sont plus efficaces que les particules d'oxyde de titane en termes d'amélioration des performances de l'huile moteur. Dans cette dernière étude, ils ont conclu que le taux de transfert de chaleur de l'huile moteur et du nanofluide à base de cuivre est supérieur à celui du nanofluide à base d'alumine. Prasannakumara6 a utilisé une méthode numérique pour effectuer une analyse thermique comparative des nanofluides visqueux et Maxwell. Il a observé que l'efficacité thermique du nanofluide visqueux est nettement supérieure à celle du nanofluide Maxwell. La variation de la conduite thermique, massique et d'écoulement du nanofluide de Williamson due aux conditions de convection et à la force de Lorentz a été étudiée par Srinivasulua et Goud7. Ils ont effectué cette analyse pour une feuille d'étirement et ont discuté du fait que de forts effets magnétiques entraînent la réduction des fonctions d'écoulement et thermiques. Usafzai et al.8 ont proposé plusieurs solutions pour étudier l'écoulement et les champs thermiques des nanofluides, en tenant compte des effets de saut de température et d'écoulement de glissement. Ils ont remarqué que l'écoulement est retardé pour l'influence dominante du glissement, alors que la distribution thermique présente un résultat opposé pour une fraction accrue de nanoparticules. Jamshed et al.9 ont comparé des nanofluides de deuxième qualité à base d'alumine et de cuivre soumis à plusieurs impacts supplémentaires, tels que le rayonnement thermique, la dissipation visqueuse, la porosité du milieu et la source de chaleur. Ils ont analysé que le nanofluide à base de cuivre est relativement plus efficace à des fins de transport de chaleur. Urmi et al.10 ont fourni un examen approfondi de la préparation, de la stabilité, des défis et des applications des nanofluides. Quelques résultats importants sur différentes caractéristiques des nanofluides sont présentés dans11,12,13,14.

Malgré le fait que les besoins cruciaux des processus industriels peuvent être satisfaits de manière adéquate grâce aux nanofluides en raison de leurs attributs avancés, les scientifiques ont poursuivi leurs recherches afin de préparer un fluide plus utile. Cette poursuite a conduit à la production d'un nouveau fluide, appelé nanofluide hybride. Il est conçu via l'immersion de deux nanoparticules différentes dans un fluide régulier, et le processus est souvent appelé hybridation. L'hybridation aboutit à un compromis entre les inconvénients et les avantages de l'inclusion individuelle de nanoparticules, qui influence favorablement les caractéristiques matérielles des fluides réguliers. L'amélioration des taux de transport de chaleur, la diminution des effets de friction et les progrès des caractéristiques thermiques sont quelques-uns des principaux avantages de l'hybridation. Les nanofluides hybrides sont utilisés dans une variété de domaines et de processus, par exemple, les liquides de refroidissement et les lubrifiants des machines, la ventilation, les moteurs hybrides, l'industrie automobile, le refroidissement des générateurs et des transformateurs, le forage et le broyage, la réfrigération, les instruments de stockage d'énergie, les caloducs et le refroidissement des systèmes nucléaires. De nombreux travaux de recherche expérimentaux et mathématiques ont été organisés pour expliquer les applications, les performances et les avantages de divers nanofluides hybrides. Ali et al.15 ont exploré le contrôle du courant de Hall et de la condition de glissement sur le mouvement péristaltique d'un nanofluide hybride à base de cuivre et de dioxyde de titane dans un canal asymétrique. Un nanofluide hybride composé de graphène et de nanoparticules ferreuses a été évalué de manière approfondie par Acharya et Mabood16. Ils ont affirmé que la dispersion de ces particules dans l'eau produit une amélioration de 74,25 % du nombre de Nusselt. Les impacts de multiples phénomènes physiques, tels que l'absorption thermique, le champ magnétique, le glissement de vitesse, la réaction chimique et la fonction thermique en rampe, sur l'écoulement de nanofluide hybride de Casson dans un cadre rotatif ont été examinés par Krishna et al.17. Kanti et al.18 ont appliqué une approche expérimentale pour analyser notamment des nanofluides hybrides composés d'oxyde de graphène. Ils ont mâché des modifications spécifiques dans les caractéristiques matérielles, la stabilité et les applications thermiques de ces fluides. Chu et al.19 ont anticipé la conductivité thermique d'un nanofluide hybride à base d'or-argent à l'aide de deux modèles mathématiques différents et ont comparé les performances d'écoulement et de transmission de chaleur pour un canal vertical infini. Shah et Ali20 ont discuté des problèmes et des limites de l'utilisation de nanofluides hybrides dans les systèmes solaires. Eid et Nafe21 ont fourni plusieurs graphiques pour disséquer les conséquences de l'injection de chaleur et de la variation des propriétés thermiques. Dans ce travail, le nanofluide hybride examiné contient de l'éthylène glycol, du cuivre et de la magnétite. Une revue globale sur le transfert de chaleur, la production d'entropie et les flux convectifs d'hybrides/nanofluides a été communiquée par Al-Chlaihawi et al.22. D'autres travaux récents sur les nanofluides hybrides sont accessibles à partir de23,24,25,26.

Généralement, les structures et les fractions de chargement des nanoparticules, leurs types et formes, et les caractéristiques intrinsèques des fluides impliqués sont quelques-uns des éléments essentiels qui affectent la fonctionnalité d'un nanofluide hybride. Conscient de l'importance de ces facteurs contributifs, une préoccupation cruciale qui émerge ici est de savoir quelle forme sera la plus appropriée pour obtenir l'augmentation maximale des attributs thermiques. Une revue exhaustive de la littérature montre que peu d'études évaluent les nanofluides hybrides soumis à des influences de forme, ce qui met en évidence un manque d'inspections sur ce sujet. De plus, il est essentiel de comprendre que les examens théoriques qui ne tiennent pas compte des facteurs de forme sont moins utiles en termes d'applications pratiques. Ghadikolaei et al.27 ont effectué une analyse numérique pour évaluer le rôle des nanoparticules de titane et de cuivre en forme de brique, de plaquette et de cylindre dans le développement de l'écoulement de stagnation. La dominance de différentes formes de dioxyde de titane et de nanoparticules d'argent sur les caractéristiques de transfert de chaleur pour l'écoulement dans un tube horizontal a été consultée et élucidée par Benkhedda et al.28. Saba et al.29 ont étudié la conduite thermique d'un nanofluide hybride Al\(_2\)O\(_3\)–Cu/eau dans un canal dissymétrique soumis à la dilatation/contraction des parois et à de multiples effets de forme. Ils ont travaillé avec des formes de plaquettes, de briques et de cylindres. Alarabi et al.30 ont examiné plus en détail le nanofluide hybride susmentionné pour les formes de sphère, d'hexaèdre, de lamelle, de tétraèdre et de colonne. Ils ont utilisé un modèle monophasé et considéré une géométrie cylindrique pour cette enquête. Ramzan et al.31 ont comparé des nanofluides hybrides graphène-argent et graphène-oxyde de cuivre pour analyser les variations thermophysiques dues au graphène de forme cylindrique, à l'argent en forme de palette et aux nanoparticules d'oxyde de cuivre de forme sphérique.

Les nanoparticules de magnésie et de graphène ont certaines caractéristiques importantes qui les rendent utiles pour une variété d'applications d'ingénierie et industrielles. Par exemple, le graphène possède un grand rapport surface/volume, ce qui le rend idéal pour une utilisation dans des applications où la surface est importante, comme la catalyse et le transfert de chaleur. Les nanoparticules de graphène sont hautement conductrices, ce qui signifie qu'elles peuvent facilement conduire la chaleur et l'électricité. Grâce à cette caractéristique, ils sont très efficaces pour les applications électroniques et de stockage d'énergie. Ces particules sont incroyablement solides et rigides, par conséquent, leur utilisation pour le renforcement des revêtements et des composites fournit des résultats souhaitables. De plus, ils peuvent être utilisés dans les capteurs, l'administration de médicaments, la filtration de l'eau et l'ingénierie tissulaire. D'autre part, la magnésie est thermiquement stable à des températures extrêmement élevées car elle offre une résistance importante au courant et a un potentiel élevé de conduction thermique. Ces particules sont également biocompatibles, elles sont donc efficaces pour certaines applications biomédicales comme l'imagerie et la thérapie du cancer. En outre, la production de matériaux optiques spécifiques utilisés pour traiter l'indigestion et les brûlures d'estomac implique la magnésie. Étant donné que la magnésie offre une résistance à l'humidité et au feu, c'est l'un des composants fondamentaux des matériaux de construction.

Le concept d'adoption de méthodes fractionnaires pour modifier des modèles réguliers a donné naissance à un nouveau domaine appelé calcul fractionnaire. En raison de ses implémentations étendues dans diverses conditions réelles, c'est une discipline qui connaît actuellement une évolution rapide. Ces derniers temps, plusieurs experts de divers domaines scientifiques ont rapporté que les résultats obtenus grâce aux approches fractionnaires sont plus fiables et que l'exécution d'opérateurs fractionnaires à des fins de modélisation garantit la spécificité et l'exactitude des résultats. De plus, ils offrent une interprétation plus précise du processus de sous-observation. En outre, un ajustement approprié des paramètres fractionnaires conduit à une bonne concordance entre les solutions dérivées théoriquement et les résultats établis expérimentalement. Ces avantages supplémentaires ont motivé un certain nombre de chercheurs à examiner les problèmes physiques dans des environnements fractionnaires et à effectuer des recherches comparatives. Les utilisations des modèles fractionnaires peuvent être trouvées dans une variété de domaines tels que les systèmes dynamiques, la théorie du contrôle, la modélisation des maladies et des populations, l'électromagnétisme, l'économie, la mécanique des fluides, la biologie mathématique, etc. En ce qui concerne la mécanique des fluides, la mémoire et les effets auto-similaires des dérivées fractionnaires sont particulièrement cruciaux pour bien comprendre les caractéristiques rhéologiques, les performances thermiques et les comportements viscoélastiques des fluides. Jusqu'à présent, une variété d'opérateurs fractionnaires composés de diverses formulations mathématiques ont été présentés. Chacun d'eux a des limites et des avantages uniques. Dans cette liste, Caputo et Riemann–Liouville sont les opérateurs les plus fréquemment utilisés, et leurs formulations impliquent un noyau en loi de puissance32. Les autres opérateurs bien connus sont les opérateurs fractionnaires Prabhakar, Atangana-Baleanu, Hilfer, Caputo-Fabrizio, Hadamard et Grüünwald-Letnikov33,34,35. Par rapport aux méthodes standard, les chercheurs modernes préfèrent les techniques de modélisation fractionnaire afin de fournir des descriptions plus authentiques des mécanismes physiques basées sur des solutions généralisées. Plusieurs opérateurs fractionnaires ont été utilisés jusqu'à présent pour comprendre les complexités de divers phénomènes naturels. Fallahgoul et al.36 ont analysé les impacts des caractéristiques vitales des processus fractionnaires, par exemple, l'auto-similarité, la dépendance au sentier et la mémoire à longue portée, sur la théorie financière, l'économie et les modèles financiers. Sinan et al.37 ont utilisé l'opérateur Atangana-Baleanu pour établir un modèle pour une enquête approfondie sur la maladie du paludisme. Ils ont discuté de l'efficacité des mesures de précaution et des médicaments pour réduire la propagation de la maladie. Asjad et al.38 ont évalué le contrôle des conditions aux limites généralisées sur les propriétés thermoconductrices des nanofluides au moyen d'un système fractionnaire. Raza et al.39 ont expliqué les aspects thermiques des nanofluides à base d'eau et d'huile de kérosène à l'aide de solutions fractionnées semi-analytiques. Ikram et al.40 ont établi plusieurs modèles fractionnaires pour explorer l'efficacité de transmission de chaleur des nanofluides hybrides pendant les écoulements de canaux. Certaines des dernières études dans lesquelles les distributions thermiques et de flux sont examinées via des opérateurs fractionnaires peuvent être consultées dans41,42,43,44.

Une analyse minutieuse de la littérature révèle qu'il n'y a pas assez d'études sur de tels nanofluides hybrides, qui contiennent des huiles comme fluides hôtes. Ce fossé de la recherche s'élargit encore si l'utilisation d'opérateurs fractionnaires et la dérivation de solutions exactes sont simultanément prises en considération. En outre, il est à noter que les aspects de forme des nanoparticules n'ont pas reçu une importance suffisante car la plupart des études rapportées communiquent des résultats pour des structures sphériques. Ce travail est une tentative de répondre à toutes ces préoccupations. La principale caractéristique de cette analyse est d'étudier les conséquences de l'hybridation des nanoparticules de magnésie et de graphène avec l'huile moteur. Les influences des formes font l'objet d'une attention particulière. À cet égard, on suppose que les particules observées ont des formes de lame, de colonne, de lamelle, de brique et de tétraèdre. Ce travail de recherche vise également à expliquer la dynamique d'écoulement et le comportement thermique du nanofluide hybride qui en résulte en termes de modèle fractionnaire. Pour atteindre cet objectif, des relations généralisées pour les flux thermiques et de diffusion sont établies à l'aide de l'opérateur fractionnaire de Prabhakar. L'inclusion de quantités indépendantes de la dimension dans le système principal jette les bases de la mise en œuvre de l'opérateur fractionnaire. Dans ce travail, le comportement d'un nanofluide hybride pour l'application simultanée de conditions d'écoulement en rampe et de glissement thermique est examiné pour la première fois. Pour résoudre le système fractionnaire qui en résulte, la transformation de Laplace est exécutée et des solutions exactes sont produites sous la forme de fonctions Mittag – Leffler multiparamétriques. Divers tableaux et illustrations graphiques sont présentés pour évaluer efficacement les modèles d'écoulement, les profils thermiques, les impacts de forme, la contribution des paramètres influents, le champ de concentration et les performances de transfert de chaleur. Les illustrations sont comparées pour les cas de glissement et sans glissement et pour les valeurs de temps inférieures et supérieures afin de souligner l'importance des conditions de glissement, des effets transitoires et de la condition de vitesse en rampe. Certaines modifications des paramètres fractionnaires sont effectuées pour retrouver les fonctions thermiques et d'écoulement pour le cas classique, et leur comparaison graphique est effectuée avec celles acquises via le modèle fractionnaire.

Dans ce travail, l'hybridation de nanoparticules de magnésie et de graphène multiformes avec de l'huile moteur est examinée pour discuter des modifications importantes des caractéristiques thermiques et d'écoulement de l'huile moteur. La disposition géométrique pour cette analyse implique une paroi verticale infinie qui sert d'interface solide-fluide. Initialement, la température du nanofluide hybride est \(\Theta _\infty\) avec une concentration uniforme \({\mathcal {C}}_\infty\), et le système ne montre aucun mouvement. Plus tard, un mouvement en rampe du mur de délimitation et une variation de température due aux effets de glissement perturbent le système. Au sens mathématique, une fonction par morceaux décrit le mouvement en rampe de telle sorte que la vitesse est une fonction dépendante du temps (\(U_0({\widetilde{\uptau }}/{\uptau _0})\)) pour une durée particulière \(({\widetilde{\uptau }} \le \uptau _0)\). Après cela (pour \({\widetilde{\uptau }} > \uptau _0\)), la vitesse a une valeur constante (\(U_0\)). Pendant ce temps, la concentration passe de \({\mathcal {C}}_\infty\) à \({\mathcal {C}}_w\). Loin du mur, la fonction de flux associée au nanofluide hybride atteint une valeur nulle, et les fonctions thermiques et de concentration atteignent à nouveau des valeurs ambiantes (\(\Theta _\infty\) et \({\mathcal {C}}_\infty\)). La figure 1 donne le cadre géométrique de cette étude. Le modèle mathématique est développé en tenant compte des hypothèses suivantes

Les fonctions de débit, de concentration et thermique ne contiennent qu'une seule composante axiale (\({\widetilde{\varPsi }}\)) en raison de la longueur infinie du mur de délimitation.

Le flux est unidimensionnel et unidirectionnel.

L'huile moteur est en équilibre thermique avec la magnésie et les nanoparticules de graphène.

Les nanoparticules sont supposées avoir des formes de brique, de colonne, de lame, de lame et de tétraèdre.

La dissipation de la viscosité ne perturbe pas le processus de transfert de chaleur.

Les effets de flottabilité sont traités à l'aide de l'approximation de Boussinesq45.

Cadre géométrique de cette étude.

En tenant compte des hypothèses et de la description ci-dessus, les principales équations de ce problème sont dérivées comme46

La loi de Fourier pour le flux thermique et la loi de Fick pour l'équation de diffusion sont respectivement fournies comme

Les conditions suivantes sont associées au système d'équations mentionné ci-dessus

Les principaux facteurs qui rendent un nanofluide hybride préférable à un fluide industriel standard sont ses caractéristiques physiques et thermiques améliorées. Ces caractéristiques des nanoparticules impliquées influencent de manière significative le développement de l'écoulement et ont un impact substantiel sur l'utilisabilité thermique du nanofluide hybride qui en résulte. Cependant, lorsqu'il s'agit de décrire mathématiquement toutes ces caractéristiques, il n'existe pas de modèle universel capable de les traiter simultanément. Cependant, un certain nombre de chercheurs ont tenté d'étudier différents aspects de ces caractéristiques par le biais d'expériences. En conséquence, plusieurs relations mathématiques ont été établies pour expliquer les attributs thermo-physiques des nanoparticules. Plus tard, pour caractériser adéquatement ces propriétés des nanofluides hybrides, ces modèles ont été efficacement adaptés. Cette section se concentre principalement sur la description d'une relation mathématique fondamentale pour chaque caractéristique thermo-physique et son altération dans le cas des nanoparticules hybrides.

Divers facteurs, tels que la densité, l'effet de traînée et les forces visqueuses, contribuent à la formation de modèles d'écoulement. De plus, il est crucial d'anticiper la capacité d'un nanofluide à s'opposer à la déformation. À cet égard, Brinkman a proposé un modèle en 195247 qui a reçu une attention significative plus tard, et c'est le modèle le plus fréquemment appliqué ces derniers temps. Il anticipe la viscosité comme

L'expression de la viscosité du nanofluide hybride considéré est définie comme

Les équations suivantes sont utilisées pour expliquer la capacité thermique spécifique et les coefficients de dilatation thermique et de concentration

Les formes modifiées des relations mentionnées ci-dessus pour le nanofluide hybride sont les suivantes

L'expression d'une estimation adéquate de la densité est fournie par

La modification de l'expression mentionnée ci-dessus pour le nanofluide hybride à base de magnésie et de graphène est présentée comme

En général, la conductivité thermique a un fort impact sur l'efficacité d'un nanofluide. Ainsi, une mesure précise de la conductivité thermique est tout à fait essentielle. Le modèle introduit par Hamilton et Crosser48 est actuellement le modèle leader pour la quantification de la conductivité thermique. Ce modèle contrecarre également efficacement les influences de forme. Par conséquent, la plupart des chercheurs le préfèrent lorsque les objectifs incluent l'évaluation des effets de forme. Ce modèle relie la conductivité thermique du nanofluide, du fluide hôte et des nanoparticules, et le facteur de forme de la manière suivante

où le choix d'une forme spécifique de nanoparticules détermine la valeur du ou des facteur(s) de forme. Le fluide de travail dans cette étude est donc composé de particules hybrides, la version étendue de l'Eq. (19) contient deux paramètres \(s_1\) et \(s_2\), qui correspondent respectivement aux nanoparticules de graphène et de magnésie. La version étendue est communiquée sous la forme

où

Dans cette section, l'indice "hnf" signifie nanofluide hybride, "nf" désigne un nanofluide et "hf" symbolise le fluide hôte. À des fins de calcul, les valeurs de \(s_1\) et \(s_2\) seront choisies dans le tableau 1. Les valeurs de calcul pour les caractéristiques thermo-physiques sont accessibles dans le tableau 2.

Dans cette section, premièrement, le modèle développé sera rendu indépendant de la dimension pour fournir la base de l'application de la dérivée fractionnaire. Cet objectif sera atteint en branchant certains paramètres indépendants de l'unité dans des équations fondamentales et des contraintes connexes. Deuxièmement, les expressions des flux thermiques et de diffusion composées des lois de Fourier et de Fick généralisées seront incorporées dans le système indépendant des dimensions ultérieur pour obtenir un modèle fractionnaire. Enfin, une analyse mathématique complète sera effectuée pour le calcul des solutions exactes. Dans cette analyse, le modèle fractionnaire et les contraintes connexes seront traités avec la transformée de Laplace (LT). Pour atteindre le premier objectif, de nouvelles quantités sont présentées comme suit

La substitution des expressions thermo-physiques et des quantités mentionnées ci-dessus dans les équations. (1)–(5) retours

Les formes sans unité des conditions pertinentes sont transmises comme

où le tableau 3 fournit les paramètres qui apparaissent dans les équations. (23)–(27).

Maintenant, ce modèle classique indépendant de la dimension sera déplacé vers un cadre fractionnaire en généralisant les expressions des flux thermiques et massiques à l'aide de la dérivée fractionnaire de Prabhakar. Ces expressions sont fournies réceptivement comme

où l'opérateur fractionnaire de Prabhakar (\({\mathfrak {D}}^{\eta }_{\zeta , \sigma , \varepsilon }\)) pour une fonction arbitraire \({\mathcal {G}}(u)\) est donné comme34

où

est l'intégrale de Prabhakar. La fonction Mittag – Leffler composée de trois paramètres et le noyau de Prabhakar sont donnés comme51

L'application de LT sur l'opérateur fractionnaire de Prabhakar donne l'expression suivante

Les nouvelles formes d'équation de température (Eq. (24)), la loi de Fourier (Eq. (31)) et les contraintes connectées (Eqs. (29) et (30)) dérivées de l'utilisation de LT sont respectivement transmises comme

où \(\delta\) est le paramètre de transformation. Maintenant, en prenant la dérivée de l'Eq. (37) et en branchant l'équation suivante dans Eq. (36) rendement

La solution de l'équation ci-dessus est calculée à l'aide des contraintes associées (Eq. (38)), et la forme simplifiée de la fonction de température est fournie comme suit

où

Pour utiliser commodément la transformée de Laplace inverse (ILT), Eq. (40) est converti en série comme suit

La transformation inverse de l'équation ci-dessus en coordonnées d'origine \((\varPsi ,\uptau )\) est obtenue comme

où

Les versions transformées de l'équation de diffusion (Eq. (25)), de la loi de Fick (Eq. (32)) et des conditions respectives (Eqs. (29) et (30)) acquises à force de LT sont respectivement fournies comme

En prenant la dérivée de l'Eq. (44) et en combinant l'équation résultante avec Eq. (43) retour

La fonction de concentration du domaine de Laplace est évaluée en tenant compte des conditions pertinentes (Eq. (45)), et elle est fournie sous la forme

où

De manière équivalente, l'éq. (47) s'écrit

L'équation (48) est traitée avec ILT pour transmuter la fonction de concentration dans le domaine réel comme

Après la mise en œuvre de LT, l'équation de flux (Eq. (23)) et les conditions pertinentes (Eqs. (29) et (30)) adoptent la forme suivante

En utilisant les expressions de \({\overline{\Theta }}(\varPsi ,\delta )\) de Eq. (40) et \(\overline{{\mathcal {C}}}(\varPsi ,\delta )\) de l'équation. (47) dans l'éq. (50), et en réarrangeant l'équation suivante rendement

La fonction de flux est dérivée à l'aide de contraintes connectées de l'équation. (51), et il est fourni comme

où

La version simplifiée de l'Eq. (53) est communiqué comme

où

La version finale de la fonction de vitesse en coordonnées primaires \((\varPsi ,\uptau )\) est obtenue comme

où

Ici, \(\delta _1(.)\) est la fonction delta de Dirac, \({\mathcal {H}}(.)\) désigne la fonction d'étape de Heaviside, \(I_1(.)\) représente le premier type de fonctions de Bessel modifiées, et * symbolise le produit de convolution.

Les modifications produites dans le nombre de Sherwood, le coefficient de frottement cutané et le nombre de Nusselt en raison des nanoparticules considérées, des paramètres fractionnaires et des impacts de forme sont analysées pour étudier l'importance de ces facteurs pour le taux de transfert de masse, la contrainte de cisaillement et l'efficacité du transport de chaleur de l'huile moteur. Les formulations mathématiques pour le nombre de Nusselt, le coefficient de frottement cutané et le nombre de Sherwood sont transmises sous la forme

où \({\widetilde{q}}\big ({\widetilde{\varPsi }},{\widetilde{\uptau }} \big )\), \({\widetilde{S}}\big ({\widetilde{\varPsi }},{\widetilde{\uptau }} \big )\), et \(\widetilde{{\mathcal {J}}}\big ({\widetilde{\varPsi }},{\widetilde{\uptau }} \big )\) ont les expressions suivantes

Mettre l'éq. (57) dans l'éq. (56) fournit les versions finales suivantes du nombre de Nusselt, du coefficient de frottement cutané et du nombre de Sherwood

L'objectif principal est l'évaluation des améliorations des propriétés thermiques de l'huile moteur à la suite de l'immersion de nanoparticules de magnésie et de graphène. L'opérateur fractionnaire de Prabhakar est utilisé comme outil de généralisation pour établir des versions fractionnaires d'équations classiques. Les conditions uniformes de concentration et de température de glissement sont considérées avec le mouvement en rampe d'un mur de délimitation vertical infini. La fonction de rampe de vitesse et les forces de flottabilité (masse et thermique) sont les principaux facteurs conduisant à l'instigation de l'écoulement. Le système d'équations régissant est composé de fonctions de débit, de concentration et d'énergie, et c'est un système partiellement couplé. En utilisant la transformée de Laplace, le système généralisé est résolu et des solutions composées de fonctions de Mittag-Leffler sont dérivées. Cette section est organisée pour fournir ces solutions sous forme de tableaux et de graphiques, qui ont été obtenues à l'aide de MATLAB. Les illustrations graphiques sont présentées pour les cas avec glissement et sans glissement et pour les valeurs de temps inférieures et supérieures. Une comparaison des solutions classiques et fractionnaires est également communiquée graphiquement. De plus, le nombre de Nusselt et le coefficient de frottement cutané sont étudiés de manière approfondie pour analyser plusieurs phénomènes, par exemple, les impacts des particules en forme de colonne, de brique, de tétraèdre, de lame et de lamelle sur l'efficacité thermique, l'augmentation du taux de transfert de chaleur et la conséquence de la modification des paramètres fractionnaires et des proportions volumiques sur la contrainte de cisaillement.

L'objectif de la figure 2 est de discuter des implications de la modification du paramètre fractionnaire \(\sigma\). Les figures 2a, b indiquent une baisse substantielle des résultats des fonctions thermiques et de concentration en réponse à des améliorations mineures de \(\sigma\). Pour le champ thermique, les conséquences de la modification de \(\sigma\) sont les mêmes que les effets de glissement soient pris en compte ou non. Cependant, lorsque la condition de glissement est appliquée, la courbe de température correspondante est toujours inférieure à celle associée à la fonction de température obtenue sans la condition de glissement. La constatation ci-dessus est également valable pour les graphes de vitesse. De plus, un comportement intéressant de la fonction de flot est remarqué en analysant l'implication du paramètre \(\sigma\). Les variations du champ d'écoulement pour des conditions dépendant du temps et uniformes sont opposées les unes aux autres. Le profil d'écoulement augmente pour le cas en rampe, mais sous réserve de la condition constante, le champ de vitesse affiche des profils de chute, comme le montrent les Fig. 2c, d. Les perturbations substantielles des fonctions de débit, de concentration et de chaleur contre de légers changements de \(\sigma\) montrent que les opérateurs fractionnaires sont très efficaces pour contrôler ces fonctions en fonction des situations physiques. De plus, la propriété d'ajustement des paramètres de ces opérateurs assure l'acquisition d'un accord entre les résultats théoriques et empiriques. Jusqu'à présent, une analyse est faite sur la base d'un seul paramètre. Cependant, il est également essentiel d'étudier le comportement des fonctions principales pour les modifications de tous les paramètres fractionnaires impliqués en même temps. Pour l'étude actuelle, cette tâche est réalisée en traçant les graphiques des fonctions de débit, de concentration et de chaleur de la Fig. 3 pour différentes valeurs des paramètres \(\zeta\), \(\sigma\) et \(\eta\). À partir de la figure 3a, on découvre qu'une augmentation des paramètres susmentionnés réduit la fonction thermique. La réponse du champ de concentration est également la même, comme le montre la figure 3b. Les figures 3c, d révèlent que le champ de vitesse se comporte de manière opposée pour des conditions uniformes et dépendant du temps. Il diminue pour le premier cas et augmente pour le dernier cas. Le noyau à trois paramètres, qui facilite les profils de vitesse pour refléter les modèles doubles, est la principale raison des résultats discutés précédemment. Ces changements significatifs dans les graphiques des fonctions principales pour les paramètres fractionnaires suggèrent que les modèles fractionnaires présentent une explication plus approfondie des phénomènes naturels car les détails de l'étape précédente sont capturés et utilisés dans le système à l'étape suivante en raison des propriétés de mémoire de l'opérateur fractionnaire mis en œuvre. Ces résultats indiquent que les modèles fractionnaires offrent un contrôle efficace sur les couches limites, cependant, les modèles classiques n'ont pas de telles caractéristiques.

Pour analyser en profondeur l'importance des conditions aux limites appliquées, des démonstrations tridimensionnelles des champs de concentration, thermique et d'écoulement sont fournies respectivement sur les figures 4a à c. Il ressort clairement de la figure 4b que la fonction thermique a des valeurs comparativement inférieures si les effets de glissement sont pris en considération. La figure 4c contient deux régions correspondant aux cas d'écoulement progressif et constant à la frontière. Dans la région bleue, le profil d'écoulement continue de changer le point de départ tant que la valeur du temps (\(\uptau\)) change. Ce processus se poursuit dans le domaine \(0< \uptau \le 1\). Ensuite, le point de départ du profil d'écoulement est constant, correspondant à la partie constante de la condition d'écoulement appliquée. La figure respective indique que les variations de temps influencent grandement le profil de débit pour la condition en rampe. Par conséquent, l'utilisation de cette condition est utile pour contrôler de manière adéquate le débit. La figure 5 est construite pour effectuer une inspection comparative des profils d'écoulement et thermiques pour les formes de colonne, de lamina, de brique, de lame et de tétraèdre de nanoparticules. La figure 5a décrit que l'inclusion de nanoparticules de magnésie et de graphène en forme de lamina dans l'huile moteur fournit la courbe thermique la plus élevée. À l'autre extrémité, le profil thermique le plus bas est observé lorsque les particules en forme de brique sont considérées. Le profil thermique présente le même schéma pour les boîtiers antidérapants et antidérapants. Les impacts de forme sont inclus dans le modèle mathématique à travers le facteur de forme « s », qui dépend de la sphéricité des nanoparticules. La proportion de la surface de la sphère à celle des nanoparticules réelles avec des volumes égaux est connue sous le nom de sphéricité. Les nanoparticules en forme de lame et de lame améliorent considérablement les propriétés thermiques de l'huile moteur. Par conséquent, la fonction de température du nanofluide hybride résultant spécifie les profils les plus élevés pour ces formes. À l'opposé, le nanofluide hybride a une capacité de conduction thermique relativement plus faible pour les nanoparticules en forme de brique et de tétraèdre. Les champs de vitesse pour les cas constants et en rampe sont respectivement affichés sur les Fig. 5b, c. On s'aperçoit que l'ordre des profils d'écoulement pour cinq formes distinctes est identique à celui des profils thermiques. En d'autres termes, le flux a la vitesse maximale pour la suspension de particules en forme de lamelle. Ce profil est suivi respectivement par des particules en forme de lame, de colonne, de tétraèdre et de brique. Ces résultats expriment que la distribution des particules en forme de tétraèdre et de brique signifie les effets visqueux. À l'opposé, le nanofluide hybride est moins visqueux lorsque les particules ont des formes en forme de lame ou de lame. Par conséquent, il s'écoule avec une plus grande vitesse, comme illustré sur les figures 5b, c.

La figure 6 est créée pour comparer les distributions de température et de débit pour différentes combinaisons d'huile moteur, de magnésie et de nanoparticules de graphène. Dans cette figure, Eo – MgO est un nanofluide à base de magnésie, et les graphiques pertinents sont obtenus en remplaçant \(\varUpsilon _{\text {Gra}}=0\) dans les relations mathématiques. De même, le nanofluide à base de graphène est noté Eo-Gra. Les figures sont préparées pour ce cas en plaçant \(\varUpsilon _{\text {MgO}}=0\) dans les solutions finales. Eo–Gra–MgO est le principal nanofluide hybride de ce travail, qui contient des fractions uniformes des deux nanoparticules. Selon la figure 6a, la distribution de température de l'huile moteur reçoit une augmentation maximale lorsque les deux nanoparticules sont dispersées dans des proportions égales. Contrairement à cela, l'huile moteur pure affiche les valeurs les plus basses pour la fonction thermique, ce qui est quelque peu évident compte tenu de ses attributs thermiques insignifiants. Par rapport à la conductivité thermique de la magnésie, le graphène possède une conductivité thermique nettement supérieure, par conséquent, le graphique de température de Eo – Gra est relativement plus élevé que celui de Eo – MgO. Les figures 6b,c révèlent que la vitesse d'écoulement de l'huile moteur est supérieure aux vitesses des autres combinaisons étudiées. Cette courbe de débit la plus élevée est suivie par Eo–Gra, Eo–Gra–MgO et Eo–MgO dans l'ordre respectif. La différence évidente de densités de magnésie, d'huile moteur et de graphène est la principale cause de ces schémas de vitesse. De plus, l'immersion des nanoparticules dans des fluides conventionnels donne des fluides plus visqueux. Par conséquent, l'huile moteur ordinaire, en raison de sa densité la plus faible et de sa nature visqueuse relativement plus faible, indique la vitesse d'écoulement la plus élevée. Cependant, l'amalgame d'huile moteur avec des concentrations uniformes de magnésie et de graphène perturbe considérablement sa densité. En conséquence, le nanofluide hybride a une densité plus faible lorsqu'il est assimilé à la densité d'Eo – MgO. Au contraire, sa densité est supérieure à celle du nanofluide à base de graphène. La figure 7 illustre comment les couches limites de débit et de température sont affectées par l'augmentation de la proportion totale (\(\varUpsilon\)) de particules de magnésie et de graphène. La figure 7a montre que les améliorations de la proportion totale élèvent le graphique de température. Cette figure décrit en outre que la solution de l'équation de la chaleur a des magnitudes minimales pour une valeur nulle de \(\varUpsilon\), ce qui indique que les nanoparticules n'ont aucune implication physique. Ces différences notables dans les graphiques de champ thermique démontrent que la propension au transport de chaleur de l'huile moteur pure est très inefficace pour les procédés industriels. Cependant, lorsque l'huile moteur est hybridée avec des nanoparticules de magnésie et de graphène, sa capacité de transport de chaleur est renforcée en raison des fortes caractéristiques intrinsèques des nanoparticules en suspension, ce qui améliore la fonctionnalité du nanofluide hybride émergent. Le nanofluide hybride qui en résulte, en raison de l'amélioration des caractéristiques thermiques, absorbe la chaleur comparativement plus rapidement et en plus grande quantité ; par conséquent, les fluctuations de température au niveau du mur d'enceinte se produisent rapidement. Par conséquent, la figure 7a représente des profils thermiques plus élevés qui signifient une augmentation considérable de la température. En ce qui concerne la distribution du débit, la conduite inverse du profil de vitesse est discernée à partir des Fig. 7b,c. Les figures correspondantes communiquent en outre que l'immersion de nanoparticules de magnésie et de graphène conduit à produire une chute prononcée de la vitesse d'écoulement. La viscosité du fluide hôte ne cesse d'augmenter tant que la concentration de nanoparticules continue d'augmenter, ce qui est l'une des caractéristiques essentielles des nanoparticules au sens physique. Cette augmentation de viscosité entraîne une vitesse d'écoulement réduite, par conséquent, une baisse du profil de vitesse est visible sur les figures respectives. De plus, les effets de glissement de température ralentissent également le débit.

La réponse de la distribution de l'écoulement sous les actions relatives dominantes et faibles de plusieurs forces, comme les forces de flottabilité visqueuses, thermiques et diffusives, est rapportée à la Fig. 8. En raison des caractéristiques variées de ces forces, le développement de l'écoulement est soit aidé soit résisté. Dans ce travail, \(Gr_1\) symbolise le nombre de Grashof thermique, qui est influencé par le gradient de température. Au sens mathématique, la force de poussée thermique indique une association directe avec \(Gr_1\), alors que les forces visqueuses et \(Gr_1\) partagent une correspondance inverse. De même, le nombre de masse de Grashof est caractérisé par \(Gr_2\), qui montre une connexion directe avec la force de flottabilité diffusive et est associée aux forces visqueuses de manière opposée. Les figures 8a,b montrent que des altérations positives de \(Gr_1\) augmentent les graphiques de flux. Un résultat identique pour les modèles d'écoulement par rapport à la modification de \(Gr_2\) peut être perçu à partir des Fig. 8c,d pour les cas de vitesse constante et en rampe, respectivement. Physiquement, les valeurs d'élévation de \(Gr_1\) et \(Gr_2\) spécifient que le mur d'enceinte a une température comparativement améliorée et que le gradient de concentration est fort. Les courants conventionnels finissent par émerger à la suite de changements de concentration et d'un échauffement supplémentaire perturbant la densité. En fin de compte, la force visqueuse se retrouve avec une contribution négligeable puisque les courants de convection non seulement produisent la force de flottabilité, mais aident également à augmenter son intensité. Ainsi, la déformation ne rencontre aucune résistance significative ; par conséquent, le nanofluide hybride indique une plus grande vitesse, et une augmentation de la courbe correspondante peut être suivie à partir de la Fig. 8. Une étude comparative des équations de concentration, de vitesse et de chaleur pour les modèles réguliers et fractionnaires est menée à l'aide de la Fig. De plus, il n'y a pas d'influence de la condition de glissement sur le champ de température à cet égard. Cependant, les résultats graphiques de la distribution de vitesse sont très intéressants car la condition respective a également une contribution significative dans ce cas. Pour la condition uniforme, le comportement du champ de vitesse est identique aux comportements susmentionnés des fonctions thermiques et de concentration. Dans ce cas, la solution d'ordre fractionnaire présente un profil inférieur à celui représentant la solution procurée via le modèle classique. Tandis que l'ordre des profils de vitesse change lorsqu'une condition de rampe est prise en compte. Dans ce cas, le graphique de la solution de vitesse ayant un ordre fractionnaire est plus élevé. En outre, il est discerné que l'application de la condition de glissement de température fournit des graphiques inférieurs des distributions d'énergie et de débit par rapport aux graphiques préparés en l'absence de cette condition. Les résultats de la figure 9 confirment également le fait que les modèles fractionnaires, en raison de leurs caractéristiques de mémoire et de leurs caractéristiques d'ajustement d'ordre, sont plus efficaces pour une description détaillée et précise des mécanismes physiques.

Une évaluation comparative du nombre de Nusselt (Nu) pour les effets de glissement et de non-glissement ainsi que pour plusieurs formes de nanoparticules hybrides de travail est réalisée à l'aide de la figure 10a. On remarque que l'amélioration de Nu n'est pas la même pour chaque type de forme considéré. Par exemple, l'immersion de nanoparticules de magnésie et de graphène en forme de lamina donne l'augmentation maximale de la valeur de Nu. Contrairement à cela, l'augmentation minimale du taux de transfert de chaleur est observée lorsque les particules ont la forme de briques. Sur la base de cette observation, il est conclu que la forme la plus efficace des nanoparticules pour améliorer l'efficacité thermique des fluides industriels est la forme laminaire. De plus, la prise en compte des effets de glissement diminue les résultats de Nu. Les figures 10b, c sont fournies pour étudier le coefficient de frottement Nu et cutané (\(C_f\)) pour plusieurs combinaisons simples et doubles de nanoparticules de magnésie et de graphène avec de l'huile moteur. Une inspection comparative révèle que Nu et \(C_f\) se comportent différemment lorsque l'allocation de la particule est maximisée. Plus précisément, augmenter les entrées de \(\varUpsilon _{\text {Gra}}\) et \(\varUpsilon _{\text {MgO}}\) de 0,00 à 0,02 entraîne l'augmentation de Nu et la diminution de \(C_f\). Sur les figures 10b, c, la proportion spécifique de nanoparticules pour chaque combinaison présentée est mentionnée le long de l'axe \ (y-\). La figure 10b montre que lorsque les particules de magnésie et de graphène ont des fractions maximales et identiques (\(\varUpsilon _{\text {Gra}}=0,02=\varUpsilon _{\text {MgO}}\)), Nu produit le résultat le plus élevé par rapport aux autres fusions examinées. La figure 10c montre que la plus petite sortie de \(C_f\) est pour un nanofluide contenant des nanoparticules de magnésie. Le tableau 4 est organisé pour examiner les implications de la modification des concentrations volumiques de particules hybrides pour l'utilisabilité thermique de l'huile moteur. De plus, l'amélioration du taux de transfert de chaleur est anticipée en termes de pourcentage. On constate qu'une légère augmentation de \(\varUpsilon\) induit une augmentation prononcée de Nu. Le tableau 4 indique une augmentation de 33,37 % de l'efficacité thermique lorsque les nanoparticules de magnésie et de graphène atteignent des fractions maximales (\(\varUpsilon _{\text {Gra}}=0,02\) et \(\varUpsilon _{\text {MgO}}=0,02\)) pendant l'hybridation. Cette amélioration de Nu est assez substantielle et soutient l'utilisation de nanofluides hybrides qui sont analysés dans des processus où l'un des objectifs essentiels est le refroidissement efficace des conduits.

Pour bien comprendre l'implication de chaque forme de nanoparticules considérée dans le renforcement du potentiel thermique du fluide porteur, le tableau 5 est développé pour sept valeurs différentes de \(\varUpsilon\). Ces résultats indiquent que les particules en forme de lamelles sont les plus importantes lorsqu'il s'agit d'élever les caractéristiques thermiques car Nu est le maximum (\(Nu = 8,1363\)) pour cette forme. A cet égard, les performances des particules en forme de lame sont comparativement plus faibles que celles des particules en forme de lame. On remarque que Nu pour les formes de particules en forme de brique a les sorties les plus faibles, ce qui correspond aux sorties Nu correspondant aux autres formes. En faisant une comparaison basée sur un pourcentage, on constate que le taux de transfert de chaleur n'est amélioré que jusqu'à 8,50 % lorsque les particules ont la forme de briques. Ces améliorations pour les formes de lame, de colonne et de tétraèdre sont de 17,79 %, 13,91 % et 9,24 % dans une séquence respective. Ces différences de pourcentage notables mettent en évidence les influences capitales des formes des particules sur la maximisation de la fonctionnalité industrielle des fluides ordinaires. Ces résultats soulignent que les formes des particules hybrides embarquées sont des facteurs essentiels pour l'optimisation des caractéristiques thermiques insuffisantes des fluides traditionnels. Sur la base des résultats fournis, on peut conclure que les informations extraites par des analyses théoriques sans tenir compte des impacts de forme peuvent ne pas être entièrement fiables pour des utilisations pratiques. Le tableau 6 est préparé pour examiner l'influence des paramètres \(\zeta\), \(\sigma\) et \(\eta\) sur Nu pour les cas avec et sans glissement. Il est identifié que Nu augmente en raison de l'amélioration de ces paramètres. Le résultat est le même que les effets de glissement soient pris en compte ou non. Dans le tableau 7, les résultats de calcul pour le nombre de Sherwood (Sh) sont comparés pour deux entrées dissemblables du nombre de Schmidt (Sc), en tenant compte de l'impact des paramètres fractionnaires. Le tableau indique que Sh augmente lorsque la magnitude de Sc est élevée. Dans ce cas, le coefficient de diffusion est faible et les impacts visqueux sont dominants, par conséquent, une augmentation du taux de transfert de masse se produit. De plus, les paramètres \(\zeta\), \(\sigma\) et \(\eta\) tendent à augmenter la valeur de Sh. Les changements de \(C_f\) dus à ces paramètres sont étudiés à l'aide du tableau 8. Cette inspection est effectuée pour des fonctions de vitesse aux limites en rampe et constantes. Le tableau décrit que \(C_f\) suit des modèles inverses pour deux cas considérés contre l'escalade de \(\zeta\). Pour le cas constant, \(C_f\) est atténué, tandis que \(C_f\) produit des valeurs croissantes pour le cas en rampe. Ce modèle est également suivi, sous réserve d'altérations croissantes de \(\sigma\). En ce qui concerne la contribution du paramètre \(\eta\), \(C_f\) communique des valeurs décroissantes pour le cas en rampe ainsi que pour le cas constant. Ces augmentations et diminutions de Nu, Sh et \(C_f\) dans les tableaux 6, 7 et 8 dépendent uniquement du noyau de l'opérateur fractionnaire appliqué. Les résultats communiqués dans ces tableaux accentuent le fait que le modèle fractionnaire établi dans cette enquête offre un contrôle plus efficace des processus de transfert de chaleur et d'écoulement, contrairement aux modèles réguliers. La spécificité et l'exactitude des résultats peuvent être assurées en adaptant ces modèles en apportant les modifications nécessaires aux paramètres fractionnaires. Le problème considéré, qui implique le transfert de chaleur et l'écoulement sur une surface verticale, a de multiples applications réelles, et les résultats présentés sont utiles à cet égard. Par exemple, l'écoulement sur les surfaces verticales des bâtiments génère des charges de vent qui peuvent affecter la conception structurelle et la sécurité du bâtiment. En ce qui concerne les échangeurs de chaleur, l'écoulement sur la surface verticale est important pour le transfert de chaleur entre les fluides. Le flux peut améliorer le taux de transfert de chaleur en favorisant le mélange entre les fluides et en augmentant la surface disponible pour le transfert de chaleur. L'écoulement sur les surfaces verticales des pales d'éoliennes contribue de manière substantielle à la génération de portance et à la production d'énergie. De même, l'écoulement sur les falaises verticales et les rivages peut provoquer une érosion côtière en emportant des sédiments et des roches. De plus, l'écoulement sur une surface verticale est couramment utilisé pour refroidir des appareils électroniques tels que des puces informatiques, des processeurs et d'autres circuits électroniques. Ce sont là quelques-unes des nombreuses applications du problème considéré. Les résultats présentés améliorent la compréhension de l'écoulement et du transfert de chaleur sur une surface verticale. Avec une meilleure compréhension de ces phénomènes, les architectes et les ingénieurs peuvent concevoir de meilleurs bâtiments, plus économes en énergie et plus confortables pour les occupants. Cela permettra également de réduire la consommation d'énergie. Ces résultats aident également les ingénieurs dans le développement de tels systèmes de refroidissement qui éliminent plus efficacement la chaleur de la surface. Grâce à une meilleure compréhension du transfert de chaleur et de l'écoulement sur une surface verticale offerte par cette étude, l'efficacité énergétique des navires et des automobiles peut être améliorée. De plus, ces résultats suggèrent que l'huile moteur hybride avec des particules de magnésie et de graphène est un fluide plus utile pour la lubrification des machines par rapport aux fluides ordinaires. C'est aussi une des applications pratiques de nos résultats. Puisque nos résultats consistent en des solutions exactes, ils peuvent être utilisés pour vérifier les techniques numériques formulées pour résoudre les modèles d'ordre fractionnaire. Nos résultats permettent également d'obtenir un accord approprié entre les résultats théoriques et les données expérimentales en utilisant la propriété de variation d'ordre de l'opérateur fractionnaire impliqué.

(a) Impacts du paramètre \(\sigma\) sur le champ thermique. (b) Impacts du paramètre \(\sigma\) sur le champ de concentration. (c) Impacts du paramètre \(\sigma\) sur le champ d'écoulement pour les effets de glissement. (d) Impacts du paramètre \(\sigma\) sur le champ d'écoulement pour les effets sans glissement.

(a) Impacts des paramètres \(\zeta\), \(\sigma\) et \(\eta\) sur le champ thermique. (b) Impacts des paramètres \(\zeta\), \(\sigma\) et \(\eta\) sur le champ de concentration. (c) Impacts des paramètres \(\zeta\), \(\sigma\) et \(\eta\) sur le champ d'écoulement pour les effets de glissement. (d) Impacts des paramètres \(\zeta\), \(\sigma\) et \(\eta\) sur le champ d'écoulement pour les effets sans glissement.

(a) Champ de concentration tridimensionnel. (b) Champ thermique tridimensionnel. (c) Champ d'écoulement tridimensionnel.

(a) Comparaison du champ thermique pour plusieurs formes. (b) Comparaison du champ d'écoulement pour plusieurs formes à condition constante. (c) Comparaison du champ d'écoulement pour plusieurs formes avec une condition en rampe.

(a) Comparaison du champ thermique pour différents nanofluides. ( b ) Comparaison du champ d'écoulement pour différents nanofluides à condition constante. ( c ) Comparaison du champ d'écoulement pour différents nanofluides avec une condition en rampe.

(a) Effets de \(\varUpsilon\) sur le champ thermique. (b) Effets de \(\varUpsilon\) sur le champ de vitesse à condition constante. (c) Effets de \(\varUpsilon\) sur le champ de vitesse pour une condition en rampe.

(a) Impacts de \(Gr_1\) sur le champ d'écoulement à condition constante. (b) Impacts de \(Gr_1\) sur le champ d'écoulement pour une condition en rampe. (c) Impacts de \(Gr_2\) sur le champ d'écoulement à condition constante. (d) Impacts de \(Gr_2\) sur le champ d'écoulement pour une condition en rampe.

(a) Comparaison de champ thermique. (b) Comparaison des champs de concentration. ( c ) Comparaison du champ d'écoulement avec une condition constante. (d) Comparaison du champ d'écoulement avec une condition en rampe.

(a) Nu comparaison pour plusieurs formes. (b) Comparaison Nu pour différents nanofluides. (c) Comparaison \(C_f\) pour différents nanofluides.

L'objectif principal de ce travail est de prévoir l'escalade de la capacité thermique de l'huile moteur en raison de son hybridation avec des nanoparticules de magnésie et de graphène. Pour inspecter minutieusement l'implication des nanoparticules dans la perturbation des modèles d'écoulement et l'amélioration des caractéristiques thermiques et matérielles, les nanoparticules sont supposées avoir des formes de colonne, de brique, de tétraèdre, de lame et de lamelle. Pour mener cette analyse, un modèle fractionnaire est établi à l'aide des lois de Fourier et de Fick généralisées. Les conditions de débit en rampe et de glissement de température sont prises en compte conjointement pour la première fois. Le système directeur de base est composé d'équations de débit, de concentration et d'énergie. L'opérateur fractionnaire de Prabhakar est implémenté pour inclure un noyau multiparamétrique dans les équations de flux thermique et de diffusion, transformant le système classique en un système fractionnaire. L'inclusion de grandeurs sans dimension dans les équations de base et l'application de la transformée de Laplace sont deux étapes principales pour l'acquisition de solutions. Les variations des couches limites et la chute et l'élévation des profils de vitesse et des fonctions thermiques sont expliquées via des graphiques. Un rapport comparatif sur les performances des nanoparticules pour plusieurs formes est fourni. De plus, l'augmentation du nombre de Nusselt en termes de pourcentage, de caractéristiques de forme et les conséquences de la modification des paramètres fractionnaires sont également étudiées. Quelques illustrations comparatives de fonctions primaires, extraites de modèles standard et fractionnaires, sont produites pour souligner l'impact critique des techniques fractionnaires à des fins de modélisation. Une brève inspection de la contrainte de cisaillement est effectuée pour les paramètres fractionnaires et plusieurs combinaisons de graphène, de magnésie et d'huile moteur. Les principales observations de cette analyse sont résumées comme suit :

L'hybridation de l'huile moteur avec des proportions égales de nanoparticules de magnésie et de graphène apporte une amélioration de 33% de son efficacité thermique.

Lorsque les particules hybrides sont uniformément immergées, leurs propriétés matérielles et leurs effets de forme augmentent la viscosité, en raison de laquelle le point d'ébullition du nanofluide hybride augmente. Par conséquent, son potentiel de transport de chaleur augmente et il possède une stabilité thermique plus élevée.

Une augmentation de la fraction volumique collective conduit à rehausser le profil du champ thermique. Cependant, le profil d'écoulement indique une tendance inverse.

Une variation significative du coefficient de frottement cutané pour de petites modifications des paramètres fractionnaires démontre que le modèle fractionnaire peut contrôler adéquatement la contrainte de cisaillement.

Les nanoparticules hybrides en forme de lamina fournissent les valeurs les plus élevées du nombre de Nusselt.

Lorsque les paramètres fractionnaires varient, le profil d'écoulement présente des schémas inverses pour les cas constants et en rampe.

Les nanoparticules de graphène ont une influence nettement plus importante sur le renforcement des caractéristiques thermiques que les nanoparticules de magnésie.

Les forces de flottabilité accélèrent considérablement l'écoulement du nanofluide hybride.

Contrairement à la condition de glissement, la courbe thermique est plus élevée pour la condition de température sans glissement.

En raison des caractéristiques de la mémoire, les lois de Fick et de Fourier généralisées décrivent plus efficacement la diffusion et les flux thermiques.

Le nombre de Nusselt révèle que le taux de transfert de chaleur le plus élevé est spécifié par le nanofluide hybride présenté, assimilé à celui des autres nanofluides observés et de l'huile moteur pure.

L'utilisation combinée du modèle fractionnaire et de la fonction de vitesse en rampe offre un meilleur contrôle du débit.

Le modèle de base de cette étude peut être modifié pour étudier les problèmes d'écoulement pour d'autres géométries telles que les disques, les cylindres, les canaux et les tuyaux.

Ce modèle peut être étendu pour des problèmes à deux et trois dimensions.

De nouveaux résultats peuvent être obtenus en opérant d'autres dérivées fractionnaires pour le même problème, et des analyses comparatives peuvent être menées.

Les combinaisons d'autres fluides de type vitesse avec différentes nanoparticules peuvent être étudiées à l'aide de la version modifiée de manière appropriée de ce modèle.

Toutes les données générées ou analysées au cours de cette étude sont incluses dans cet article publié.

Paramètre de Maxwell

Flux thermique

Fonction température

Numéro de Grashof thermique

Conductivité thermique

Composante spatiale

Concentration de flux libre

Vitesse caractéristique

Fonction concentration

Diffusion flux

Temps caractéristique

Coefficient de diffusion

Proportion de particules

Conductivité thermique

Numéro Nusselt

La capacité thermique spécifique

Huile moteur

graphène

Fluide de base

Fonction vitesse

Densité

Temps

Accélération gravitationnelle

Coefficient de dilatation thermique

Numéro Mass Grashof

Paramètre de glissement

Viscosité

Température ambiante

Facteur de forme

Coefficient de dilatation massique

Numéro de Schmidt

Numéro de Prandtl

Coefficient de frottement cutané

Paramètre de Laplace

Paramètres fractionnaires

Nanoparticules

Magnésie

Nanofluides à base de graphène

Nanofluides à base de magnésie

Nanofluides hybrides

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Les auteurs reconnaissent le soutien financier fourni par le Centre d'excellence en sciences théoriques et computationnelles (TaCS-CoE), KMUTT. Cette recherche a été financée par le National Science, Research and Innovation Fund (NSRF), King Mongkut's University of Technology North Bangkok avec le contrat no. KMUTNB-FF-66-61. Le premier auteur apprécie le soutien fourni par Petchra Pra Jom Klao Ph.D. Bourse de recherche (25/2563).

Département de mathématiques, Faculté des sciences, Université de technologie du roi Mongkut, Thonburi, 126 Pracha-Uthit Road, Bang Mod, Thung Khru, Bangkok, 10140, Thaïlande

Asifa

Centre d'excellence en sciences théoriques et computationnelles (TaCS-CoE), Bâtiment du laboratoire scientifique, Faculté des sciences, Université de technologie du roi Mongkut, Thonburi (KMUTT), 126 Pracha-Uthit Road, Bang Mod, Thung Khru, Bangkok, 10140, Thaïlande

Talha Anwar et Poom Kumam

Département de recherche médicale, Hôpital universitaire médical de Chine, Université médicale de Chine, Taichung, 40402, Taïwan

Poom Kumam

Département de mathématiques, Faculté des sciences, Université de Jazan, Jazan, 45142, Arabie saoudite

Musawa Yahya Almusawa

Département des sciences fondamentales, Collège des sciences et des études théoriques, Saudi Electronic University, Jeddah Campus, Riyad, 11673, Arabie saoudite

Showkat Ahmad Lone

Faculté des sciences, de l'énergie et de l'environnement, King Mongkut's University of Technology North Bangkok, Rayong Campus, Rayong, 21120, Thaïlande

Suttiarporn gauche

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A. et TA, et PK ont formulé et résolu le problème et préparé le projet initial. MYA et SAL ont effectué des simulations numériques pour préparer des graphiques et des tableaux. PS a effectué une analyse formelle et validé les résultats. Tous les auteurs ont contribué de manière égale à l'interprétation des résultats et à l'examen du manuscrit.

Correspondance à Quitter Suttiarporn.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Asifa, Anwar, T., Kumam, P. et al. Solutions exactes via l'approche fractionnelle de Prabhakar pour étudier les caractéristiques de transfert de chaleur et d'écoulement d'un nanofluide hybride soumis à des effets de forme et de glissement. Sci Rep 13, 7810 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-34259-9

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Reçu : 30 janvier 2023

Accepté : 26 avril 2023

Publié: 14 mai 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-34259-9

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